ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существуют ли такие иррациональные числа \( a \) и \( b \), что \( a^b \) — рациональное число?

Существуют ли такие иррациональные числа \( a \) и \( b \), что \( a^b \) — рациональное число?

1) Рассмотрим равенство:
\( 2 = \sqrt{2}^2 = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} \).

2) Если \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) — рациональное число:
\( a = \sqrt{2}, \quad b = \sqrt{2} \).

3) Если \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) — иррациональное число:
\( a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt{2} \).

Ответ: да.

Существуют ли такие иррациональные числа \(a\) и \(b\), что \(a^b\) является рациональным числом.

Рассмотрим равенство:

\(
2 = (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \left((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}
\)

Здесь видно, что выражение \((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\) возводится в степень \(\sqrt{2}\), и результат равен \(2\), то есть рациональному числу.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\) является рациональным числом, тогда можно взять \(a = \sqrt{2}\) и \(b = \sqrt{2}\). В этом случае \(a^b = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\), и оно уже рационально.

2. Если \((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\) является иррациональным числом, тогда можно положить \(a = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt{2}\). В этом случае \(a^b = \left((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 2\), что является рациональным числом.

Таким образом, в обоих случаях существуют такие иррациональные числа \(a\) и \(b\), что \(a^b\) является рациональным числом. Ответ: да.