ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Докажите, что:

\(
\left(\frac{7}{9}\right)^{3.2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{2.9}
\)

2.

\(
\left(\frac{4}{3}\right)^{1.8} > \left(\frac{4}{3}\right)^{1.6}
\)

На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что:

1) \(\left(\frac{7}{9}\right)^{3.2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{2.9}\);
Если \(0 < a < 1\), то функция \(y = a^x\) убывает.

2) \(\left(\frac{4}{3}\right)^{1.8} > \left(\frac{4}{3}\right)^{1.6}\);
Если \(a > 1\), то функция \(y = a^x\) возрастает.

Обоснование:
Для показательной функции \(f(x) = a^x\), где \(0 < a < 1\), функция убывает, то есть если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\).
В первом случае \(3.2 > 2.9\), поэтому \(\left(\frac{7}{9}\right)^{3.2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{2.9}\).
Во втором случае \(1.8 > 1.6\), поэтому \(\left(\frac{4}{3}\right)^{1.8} > \left(\frac{4}{3}\right)^{1.6}\).

Для показательной функции \(f(x) = a^x\), где \(a\) является основанием, существуют следующие свойства:

1. Если \(0 < a < 1\), то функция \(f(x) = a^x\) является убывающей.
— Это означает, что если \(x_1 < x_2\), то \(a^{x_1} > a^{x_2}\).
— Например, если \(a = \frac{7}{9}\), где \(0 < \frac{7}{9} < 1\), то функция \(f(x) = \left(\frac{7}{9}\right)^x\) является убывающей.

2. Если \(a > 1\), то функция \(f(x) = a^x\) является возрастающей.
— Это означает, что если \(x_1 < x_2\), то \(a^{x_1} < a^{x_2}\).
— Например, если \(a = \frac{4}{3}\), где \(\frac{4}{3} > 1\), то функция \(f(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x\) является возрастающей.

Рассмотрим два примера:

1) Пусть \(a = \frac{7}{9}\), где \(0 < \frac{7}{9} < 1\). Тогда функция \(f(x) = \left(\frac{7}{9}\right)^x\) является убывающей.
— Поскольку \(3.2 > 2.9\), то \(\left(\frac{7}{9}\right)^{3.2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{2.9}\).
— Это объясняется тем, что при большем показателе \(x\) (3.2 > 2.9), значение функции \(\left(\frac{7}{9}\right)^x\) становится меньше, так как функция является убывающей.

2) Пусть \(a = \frac{4}{3}\), где \(\frac{4}{3} > 1\). Тогда функция \(f(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x\) является возрастающей.
— Поскольку \(1.8 > 1.6\), то \(\left(\frac{4}{3}\right)^{1.8} > \left(\frac{4}{3}\right)^{1.6}\).
— Это объясняется тем, что при большем показателе \(x\) (1.8 > 1.6), значение функции \(\left(\frac{4}{3}\right)^x\) становится больше, так как функция является возрастающей.

Таким образом, на основании свойств показательной функции можно сделать вывод о том, что в первом случае \(\left(\frac{7}{9}\right)^{3.2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{2.9}\), а во втором случае \(\left(\frac{4}{3}\right)^{1.8} > \left(\frac{4}{3}\right)^{1.6}\).