ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите общий вид первообразных функции:

1) \( f(x) = 4 — 2x; \)
2) \( f(x) = 3x^2 — x + 5; \)
3) \( f(x) = 5\sin(x) + \cos(x); \)
4) \( f(x) = x^3(2 — x^2); \)
5) \( f(x) = 5e^x — 2 \cdot 3^x; \)
6) \( f(x) = \frac{6}{x} — x^3, \, (-\infty; 0); \)
7) \( f(x) = \frac{9}{\sin^2(x)} + \frac{x^4}{4}, \, (0; \pi); \)
8) \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3, \, (0; +\infty); \)
9) \( f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}, \, (-\infty; 0); \)
10) \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{6}{x^5}, \, (0; +\infty). \)

Найти первообразную функции:

1)
\( f(x) = 4 — 2x; \)
\( F(x) = 4x — 2 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x — x^2 + C; \)

2)
\( f(x) = 3x^2 — x + 5; \)
\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + 5x = x^3 — \frac{x^2}{2} + 5x + C; \)

3)
\( f(x) = 5 \sin x + \cos x; \)
\( F(x) = -5 \cos x + \sin x + C; \)

4)
\( f(x) = x^3 (2 — x^2) = 2x^3 — x^5; \)
\( F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} — \frac{x^6}{6} = \frac{x^4}{2} — \frac{x^6}{6} + C; \)

5)
\( f(x) = 5 e^x — 2 \cdot 3^x; \)
\( F(x) = 5 e^x — 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C; \)

6)
\( f(x) = \frac{6}{x} — x^3, \quad (-\infty; 0); \)
\( F(x) = 6 \ln |x| — \frac{x^4}{4} = 6 \ln(-x) — \frac{x^4}{4} + C; \)

7)
\( f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}, \quad (0; \pi); \)
\( F(x) = 9 \cdot (-\cot x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} = -9 \cot x + \frac{x^5}{20} + C; \)

8)
\( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3, \quad (0; +\infty); \)
\( F(x) = 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{1} + \frac{x^4}{4} = 8 \sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C; \)

9)
\( f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}, \quad (-\infty; 0); \)
\( F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} + 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{2 x^2} — \frac{1}{x^3} + C; \)

10)
\( f(x) = 6 \sqrt[3]{x^2} — \frac{3}{x^5}, \quad (0; +\infty); \)
\( F(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} — 6 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2 x^4} + C; \)

1)
Дана функция:
\( f(x) = 4 — 2x \)

Первообразная находится как интеграл:
\(
F(x) = \int (4 — 2x) \, dx = \int 4 \, dx — \int 2x \, dx
\)

Вычисляем интегралы по отдельности:
\(
\int 4 \, dx = 4x
\)
\(
\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2
\)

Итого:
\(
F(x) = 4x — x^2 + C
\)

2)
Дана функция:
\(
f(x) = 3x^2 — x + 5
\)

Интегрируем по частям:
\(
F(x) = \int (3x^2 — x + 5) \, dx = \int 3x^2 \, dx — \int x \, dx + \int 5 \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
\)
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
\(
\int 5 \, dx = 5x
\)

Итого:
\(
F(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + 5x + C
\)

3)
Дана функция:
\(
f(x) = 5 \sin x + \cos x
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = \int 5 \sin x \, dx + \int \cos x \, dx = 5 \int \sin x \, dx + \int \cos x \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int \sin x \, dx = -\cos x
\)
\(
\int \cos x \, dx = \sin x
\)

Итого:
\(
F(x) = 5 (-\cos x) + \sin x + C = -5 \cos x + \sin x + C
\)

4)
Дана функция:
\(
f(x) = x^3 (2 — x^2) = 2x^3 — x^5
\)

Интегрируем по частям:
\(
F(x) = \int (2x^3 — x^5) \, dx = 2 \int x^3 \, dx — \int x^5 \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
\)
\(
\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6}
\)

Итого:
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} — \frac{x^6}{6} + C = \frac{x^4}{2} — \frac{x^6}{6} + C
\)

5)
Дана функция:
\(
f(x) = 5 e^x — 2 \cdot 3^x
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = \int 5 e^x \, dx — 2 \int 3^x \, dx = 5 \int e^x \, dx — 2 \int 3^x \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int e^x \, dx = e^x
\)
\(
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a}, \quad a > 0, a \neq 1
\)
Значит:
\(
\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3}
\)

Итого:
\(
F(x) = 5 e^x — 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C
\)

6)
Дана функция:
\(
f(x) = \frac{6}{x} — x^3, \quad x \in (-\infty, 0)
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = \int \frac{6}{x} \, dx — \int x^3 \, dx = 6 \int \frac{1}{x} \, dx — \int x^3 \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x|
\)
\(
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
\)

Итого:
\(
F(x) = 6 \ln |x| — \frac{x^4}{4} + C
\)

Для \(x < 0\) можно записать:
\(
F(x) = 6 \ln(-x) — \frac{x^4}{4} + C
\)

7)
Дана функция:
\(
f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}, \quad x \in (0, \pi)
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = 9 \int \csc^2 x \, dx + \frac{1}{4} \int x^4 \, dx
\)

Известно, что:
\(
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x
\)
\(
\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}
\)

Итого:
\(
F(x) = 9 (-\cot x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + C = -9 \cot x + \frac{x^5}{20} + C
\)

8)
Дана функция:
\(
f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3, \quad x \in (0, +\infty)
\)

Перепишем первый член:
\(
\frac{4}{\sqrt{x}} = 4 x^{-\frac{1}{2}}
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx + \int x^3 \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}
\)
\(
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
\)

Итого:
\(
F(x) = 4 \cdot 2 \sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C = 8 \sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C
\)

9)
Дана функция:
\(
f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}, \quad x \in (-\infty, 0)
\)

Перепишем с помощью степеней:
\(
f(x) = x^{-3} + 3 x^{-4}
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = \int x^{-3} \, dx + 3 \int x^{-4} \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2 x^2}
\)
\(
\int x^{-4} \, dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3 x^3}
\)

Итого:
\(
F(x) = -\frac{1}{2 x^2} + 3 \left(-\frac{1}{3 x^3}\right) + C = -\frac{1}{2 x^2} — \frac{1}{x^3} + C
\)

10)
Дана функция:
\(
f(x) = 6 \sqrt[3]{x^2} — \frac{3}{x^5}, \quad x \in (0, +\infty)
\)

Перепишем в степенном виде:
\(
6 \sqrt[3]{x^2} = 6 x^{\frac{2}{3}}, \quad -\frac{3}{x^5} = -3 x^{-5}
\)

Интегрируем:
\(
F(x) = 6 \int x^{\frac{2}{3}} \, dx — 3 \int x^{-5} \, dx
\)

Вычисляем:
\(
\int x^{\frac{2}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}
\)
\(
\int x^{-5} \, dx = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4} x^{-4}
\)

Итого:
\(
F(x) = 6 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} — 3 \cdot \left(-\frac{1}{4} x^{-4}\right) + C = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{4 x^{4}} + C
\)