ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Функции } F_1 \text{ и } F_2 \text{ являются первообразными функции } f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x — 1}}
\)
\(
\text{ на промежутке } \left(\frac{1}{5}; +\infty\right).
\)
\(
\text{График функции } F_1 \text{ проходит через точку } M(1; 9), \text{ а функция } F_2
\)
\(
\text{ — через точку } N(10; 8.
\)
\(
\text{График какой из функций, } F_1 \text{ или } F_2, \text{ расположен выше?}
\)

Какая из первообразных выше:
M(1; 9) ∈ F₁, N(10; 8) ∈ F₂;

\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x — 1}}, \left(\frac{1}{5}; +\infty\right); \)

\( F(x) = \frac{2}{5} \sqrt{5x — 1} + C; \)

1) Первая первообразная:
\( F₁(1) = \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 1 — 1} + C = 9; \)

\( \frac{2}{5} \cdot 2 + C = 9; \)
\( 0,8 + C = 9; \)
\( C = 8,2; \)

2) Вторая первообразная:
\( F₂(10) = \frac{2}{5} \sqrt{50 — 1} + C = 8; \)

\( \frac{2}{5} \cdot 7 + C = 8; \)
\( 2,8 + C = 8; \)
\( C = 5,2; \)

Ответ: \( F₁. \)

\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x — 1}}, \quad x \in \left(\frac{1}{5}; +\infty\right). \)

Её первообразная имеет вид:

\( F(x) = \frac{2}{5} \sqrt{5x — 1} + C, \)

где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Имеются две первообразные \( F_1 \) и \( F_2 \), которые проходят через точки \( M(1; 9) \) и \( N(10; 8) \) соответственно. Необходимо определить, график какой из первообразных выше.

Рассчитаем значения константы \( C \) для каждой из первообразных.

1. Первая первообразная \( F_1 \) проходит через точку \( M(1; 9) \). Подставим координаты точки в выражение для первообразной:

\( F_1(1) = \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 1 — 1} + C = 9. \)

Выполним вычисления:

\( \sqrt{5 \cdot 1 — 1} = \sqrt{4} = 2, \)

следовательно:

\( F_1(1) = \frac{2}{5} \cdot 2 + C = 9. \)

Упростим выражение:

\( 0,8 + C = 9. \)

Найдём значение \( C \):

\( C = 9 — 0,8 = 8,2. \)

Таким образом, первая первообразная имеет вид:

\( F_1(x) = \frac{2}{5} \sqrt{5x — 1} + 8,2. \)

2. Вторая первообразная \( F_2 \) проходит через точку \( N(10; 8) \). Подставим координаты точки в выражение для первообразной:

\( F_2(10) = \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 10 — 1} + C = 8. \)

Выполним вычисления:

\( \sqrt{5 \cdot 10 — 1} = \sqrt{49} = 7, \)

следовательно:

\( F_2(10) = \frac{2}{5} \cdot 7 + C = 8. \)

Упростим выражение:

\( 2,8 + C = 8. \)

Найдём значение \( C \):

\( C = 8 — 2,8 = 5,2. \)

Таким образом, вторая первообразная имеет вид:

\( F_2(x) = \frac{2}{5} \sqrt{5x — 1} + 5,2. \)

Сравним графики. Константа \( C \) первой первообразной (\( C = 8,2 \)) больше константы второй первообразной (\( C = 5,2 \)). Это означает, что график функции \( F_1(x) \) расположен выше графика функции \( F_2(x) \).

Ответ:

\( F_1. \)