ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Тело движется по координатной прямой со скоростью, определяемой в любой  }
\)
\(
\text{момент времени } t \text{ по формуле } v(t) = 6t^2 + 1.
\)
\(
\text{Найдите формулу, выражающую зависимость координаты } x(t) \text{ от времени, если в }
\)
\(
\text{момент времени } t = 3 \text{ тело находилось на расстоянии } 10 \text{ м от начала координат.}
\)

Движение тела задано законом:
\(
v(t) = 6t^2 + 1, \quad s(3) = \pm 10 \, \text{м};
\)

\(
s(t) = 6 \cdot \frac{t^3}{3} + t = 2t^3 + t + C;
\)
\(
s(3) = 2 \cdot 27 + 3 + C = 57;
\)
\(
s_1(3) = 57 + C = -10, \quad C = -67;
\)
\(
s_2(3) = 57 + C = 10, \quad C = -47;
\)

Ответ:
\(
s(t) = 2t^3 + t — 67; \quad s(t) = 2t^3 + t — 47.
\)

Движение тела задано законом:

\(
v(t) = 6t^2 + 1, \quad s(3) = \pm 10 \, \text{м};
\)

Для нахождения зависимости координаты \( s(t) \) от времени \( t \), необходимо интегрировать функцию скорости \( v(t) \).

Сначала запишем интеграл:

\(
s(t) = \int v(t) \, dt = \int (6t^2 + 1) \, dt.
\)

Теперь вычислим интеграл:

\(
s(t) = 6 \cdot \int t^2 \, dt + \int 1 \, dt.
\)

Вычисляем каждую часть:

\(
\int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3},
\)
\(
\int 1 \, dt = t.
\)

Подставляем результаты в уравнение для \( s(t) \):

\(
s(t) = 6 \cdot \frac{t^3}{3} + t + C.
\)

Упрощаем:

\(
s(t) = 2t^3 + t + C,
\)

где \( C \) — постоянная интегрирования.

Теперь используем начальное условие \( s(3) = \pm 10 \) для нахождения \( C \):

Сначала подставим \( s(3) = -10 \):

\(
s(3) = 2 \cdot 3^3 + 3 + C = 57 + C.
\)
\(
57 + C = -10.
\)
Решаем уравнение:

\(
C = -10 — 57 = -67.
\)

Теперь подставим \( s(3) = 10 \):

\(
s(3) = 2 \cdot 3^3 + 3 + C = 57 + C.
\)
\(
57 + C = 10.
\)
Решаем это уравнение:

\(
C = 10 — 57 = -47.
\)

Таким образом, окончательно получаем две зависимости координаты от времени:

\(
s(t) = 2t^3 + t — 67; \quad s(t) = 2t^3 + t — 47.
\)