ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Задайте формулой функцию } f(x), \text{ определённую на промежутке } (-\infty; +\infty),
\)
\(
\text{ график которой проходит через точку } A(-1; 6),
\)
\(
\text{ если угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с }
\)
\(
\text{абсциссой } x,\text{ равен } 6x^2 — 5x^4.
\)

Определить данную функцию:
\(
f'(x) = 6x^2 — 5x^4, \quad A(-1; 6) \in f(x); \quad D(x) = (-\infty; +\infty);
\)

\(
f(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 5 \cdot \frac{x^5}{5} = 2x^3 — x^5 + C;
\)
\(
f(-1) = -2 + 1 + C = 6, \quad C = 7;
\)

Ответ:
\(
f(x) = 2x^3 — x^5 + 7.
\)

Определить данную функцию:

\(
f'(x) = 6x^2 — 5x^4, \quad A(-1; 6) \in f(x); \quad D(x) = (-\infty; +\infty);
\)

Для нахождения функции \( f(x) \) необходимо проинтегрировать производную \( f'(x) \).

Запишем интеграл:

\(
f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 — 5x^4) \, dx.
\)

Теперь вычислим интеграл по частям:

\(
f(x) = 6 \cdot \int x^2 \, dx — 5 \cdot \int x^4 \, dx.
\)

Вычисляем каждую часть:

\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3},
\)
\(
\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}.
\)

Подставляем результаты в уравнение для \( f(x) \):

\(
f(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C.
\)

Упрощаем:

\(
f(x) = 2x^3 — x^5 + C,
\)

где \( C \) — постоянная интегрирования.

Теперь используем условие \( A(-1; 6) \in f(x) \) для нахождения \( C \). Подставим \( x = -1 \):

\(
f(-1) = 2(-1)^3 — (-1)^5 + C.
\)

Вычисляем:

\(
f(-1) = 2(-1) — (-1) + C = -2 + 1 + C.
\)

Это упрощается до:

\(
f(-1) = -1 + C.
\)

Согласно условию, \( f(-1) = 6 \):

\(
-1 + C = 6.
\)

Решаем уравнение для \( C \):

\(
C = 6 + 1 = 7.
\)

Таким образом, окончательно получаем функцию:

\(
f(x) = 2x^3 — x^5 + 7.
\)