ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите функцию } f(x), \text{ определённую на промежутке } (0; +\infty), \text{ график которой}
\)
\(
\text{проходит через точку } B(4; -5),
\)
\(
\text{если угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с}
\)
\(
\text{абсциссой } x, \text{ равен } \frac{3}{\sqrt{x} + 1}.
\)

Определить данную функцию:
\(
f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1, \quad B(4; -5) \in f(x); \quad D(x) = (0; +\infty);
\)

\(
f(x) = 3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x = 6\sqrt{x} + x + C;
\)
\(
f(4) = 6 \cdot 2 + 4 + C = -5, \quad C = -21;
\)

Ответ:
\(
f(x) = 6\sqrt{x} + x — 21.
\)

Определить данную функцию:

\(
f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1, \quad B(4; -5) \in f(x); \quad D(x) = (0; +\infty);
\)

Для нахождения функции \( f(x) \) необходимо проинтегрировать производную \( f'(x) \).

Запишем интеграл:

\(
f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( \frac{3}{\sqrt{x}} + 1 \right) \, dx.
\)

Теперь вычислим интеграл по частям:

\(
f(x) = \int \frac{3}{\sqrt{x}} \, dx + \int 1 \, dx.
\)

Вычисляем каждую часть:

\(
\int \frac{3}{\sqrt{x}} \, dx = 3 \cdot \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 3 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{x},
\)
\(
\int 1 \, dx = x.
\)

Подставляем результаты в уравнение для \( f(x) \):

\(
f(x) = 6\sqrt{x} + x + C,
\)

где \( C \) — постоянная интегрирования.

Теперь используем условие \( B(4; -5) \in f(x) \) для нахождения \( C \). Подставим \( x = 4 \):

\(
f(4) = 6\sqrt{4} + 4 + C.
\)

Вычисляем:

\(
f(4) = 6 \cdot 2 + 4 + C = 12 + 4 + C = 16 + C.
\)

Согласно условию, \( f(4) = -5 \):

\(
16 + C = -5.
\)

Решаем уравнение:

\(
C = -5 — 16 = -21.
\)

Таким образом, окончательно получаем зависимость функции:

\(
f(x) = 6\sqrt{x} + x — 21.
\)