ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите:}
\)
1) \(\int \sin^2(x) \, dx\);
2) \(\int \sin(5x) \cos(3x) \, dx\);
3) \(\int \sin\left(\frac{7x}{3}\right) \sin\left(\frac{5x}{3}\right) \, dx\).

1)
\(
\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 — \cos 2x}{2} \, dx =
\frac{1}{2} \left(x — \frac{1}{2} \sin 2x\right) = \frac{x}{2} — \frac{1}{4} \sin 2x + C;
\)

2)
\(
\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \, dx =
\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{8} \cos 8x — \frac{1}{2} \cos 2x\right) =
\)
\(
= -\frac{1}{16} \cos 8x — \frac{1}{4} \cos 2x + C;
\)

3)
\(
\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos \frac{2x}{3} — \cos 4x) \, dx =
\frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} \sin \frac{2x}{3} — \frac{1}{4} \sin 4x\right) =
\)
\(
=\frac{3}{4} \sin \frac{2x}{3} — \frac{1}{8} \sin 4x + C.
\)

1) Для вычисления интеграла \(\int \sin^2 x \, dx\) используем тригонометрическую идентичность:

\(
\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 — \cos 2x}{2} \, dx
\)

Теперь интегрируем:

\(
= \frac{1}{2} \int (1 — \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( x — \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C
\)

Таким образом, окончательный результат:

\(
\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} — \frac{1}{4} \sin 2x + C
\)

2) Для вычисления интеграла \(\int \sin 5x \cos 3x \, dx\) используем формулу произведения синуса и косинуса:

\(
\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin(5x + 3x) + \sin(5x — 3x)) \, dx
\)

Это упрощается до:

\(
= \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \, dx
\)

Теперь интегрируем каждую часть:

\(
= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8} \cos 8x — \frac{1}{2} \cos 2x \right) + C
\)

Таким образом, окончательный результат:

\(
\int \sin 5x \cos 3x \, dx = -\frac{1}{16} \cos 8x — \frac{1}{4} \cos 2x + C
\)

3) Для вычисления интеграла \(\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx\) используем формулу произведения синусов:

\(
\int \sin A \sin B \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(A — B) — \cos(A + B)) \, dx
\)

В нашем случае \(A = \frac{7x}{3}\) и \(B = \frac{5x}{3}\):

\(
= \frac{1}{2} \int \left( \cos\left(\frac{2x}{3}\right) — \cos(4x) \right) \, dx
\)

Теперь интегрируем каждую часть:

\(
= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) — \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C
\)

Таким образом, окончательный результат:

\(
\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx = \frac{3}{4} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) — \frac{1}{8} \sin(4x) + C
\)