ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите:}
\)

1) \(\int \cos^2(2x) \, dx\);

2) \(\int \cos(x) \cos(8x) \, dx\).

1)
\(
\int \cos^2 2x \, dx = \int \frac{1 + \cos 4x}{2} \, dx =
\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{4} \sin 4x\right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin 4x + C;
\)

2)
\(
\int \cos x \cos 8x \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 9x + \cos 7x) \, dx =
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{9} \sin 9x + \frac{1}{7} \sin 7x\right) =
\)
\(
=\frac{1}{18} \sin 9x + \frac{1}{14} \sin 7x + C.
\)

1) Для интеграла \(\int \cos^2(2x) \, dx\):

Используем формулу для косинуса в квадрате:

\(
\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}
\)

Тогда интеграл можно записать так:

\(
\int \cos^2(2x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx
\)

Разделим интеграл на два:

\(
= \frac{1}{2} \int (1 + \cos(4x)) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos(4x) \, dx \right)
\)

Теперь вычислим каждый из интегралов:

\(
\int 1 \, dx = x
\)

\(
\int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)
\)

Подставляем результаты обратно:

\(
= \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{4} \sin(4x) \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin(4x) + C
\)

где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

2) Для интеграла \(\int \cos(x) \cos(8x) \, dx\):

Используем формулу произведения косинусов:

\(
\cos(x) \cos(8x) = \frac{1}{2} (\cos(9x) + \cos(7x))
\)

Тогда интеграл можно записать так:

\(
\int \cos(x) \cos(8x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(9x) + \cos(7x)) \, dx
\)

Разделим интеграл на два:

\(
= \frac{1}{2} \left( \int \cos(9x) \, dx + \int \cos(7x) \, dx \right)
\)

Теперь вычислим каждый из интегралов:

\(
\int \cos(9x) \, dx = \frac{1}{9} \sin(9x)
\)

\(
\int \cos(7x) \, dx = \frac{1}{7} \sin(7x)
\)

Подставляем результаты обратно:

\(
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} \sin(9x) + \frac{1}{7} \sin(7x) \right)
\)

Это можно упростить до:

\(
= \frac{1}{18} \sin(9x) + \frac{1}{14} \sin(7x) + C
\)

где \(C\) — произвольная константа интегрирования.