ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \( f(x) = 2x^2 + 3x \) найдите такую первообразную \( F(x) \), что прямая \( y = 5x — 2 \) является касательной к её графику.

Прямая является касательной \( F(x) \):
\( f(x) = 2x^2 + 3x, \, y = 5x — 2; \)

1) Точки касания:
\(
2x^2 + 3x = 5; \quad 2x^2 + 3x — 5 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
y_1 = 2(-2)^2 + 3(-2) = \frac{29}{2}, \quad y_2 = 5(1) — 2 = 3;
\)

2) Первообразная:
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C;
\)

3) Первое значение:
\(
F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = 2 \cdot \frac{-125}{8} + 3 \cdot \frac{25}{4} + C = -\frac{29}{2};
\)
\(
F_1\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C = -\frac{29}{2}, \quad C = -\frac{323}{24};
\)

4) Второе значение:
\(
F_2\left(2\right) = 2 \cdot \frac{8}{3} + 3 \cdot 2 + C = 3, \quad C = \frac{5}{6};
\)

Ответ:
\(
F_1(x) = 2x^3 + 3x^2 — \frac{323}{24}; \quad F_2(x) = 2x^3 + 3x^2 + \frac{5}{6}.
\)

Для функции \( f(x) = 2x^2 + 3x \) необходимо найти такую первообразную \( F(x) \), что прямая \( y = 5x — 2 \) является касательной к её графику.

1) Находим точки касания:

Условие касания означает, что график функции \( f(x) \) и прямая \( y = 5x — 2 \) пересекаются в одной точке. Это можно записать как:

\(
2x^2 + 3x = 5
\)

Перепишем уравнение:

\(
2x^2 + 3x — 5 = 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Находим корни:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2
\)

\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1
\)

Теперь находим соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = -2 \):

\(
y_1 = f(-2) = 2(-2)^2 + 3(-2) = 8 — 6 = 2
\)

Для \( x_2 = 1 \):

\(
y_2 = f(1) = 2(1)^2 + 3(1) = 2 + 3 = 5
\)

Таким образом, точки касания: \( (-2, 2) \) и \( (1, 5) \).

2) Находим первообразную функции \( f(x) \):

\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (2x^2 + 3x) \, dx
\)

Вычисляем интеграл:

\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C
\)

3) Теперь подставим первую точку касания \( (-2, 2) \):

Подставляем в уравнение касательной:

\(
y = 5(-2) — 2 = -10 — 2 = -12
\)

И в первообразную:

\(
F(-2) = \frac{2}{3}(-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 + C
\)

Вычисляем:

\(
F(-2) = \frac{2}{3}(-8) + \frac{3}{2}(4) + C = -\frac{16}{3} + 6 + C
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
F(-2) = -\frac{16}{3} + \frac{18}{3} + C = \frac{2}{3} + C
\)

Приравниваем к значению функции в точке касания:

\(
\frac{2}{3} + C = -12
\)

Отсюда:

\(
C = -12 — \frac{2}{3} = -\frac{36}{3} — \frac{2}{3} = -\frac{38}{3}
\)

4) Теперь подставим вторую точку касания \( (1, 5) \):

Подставляем в уравнение касательной:

\(
y = 5(1) — 2 = 5 — 2 = 3
\)

И в первообразную:

\(
F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + C
\)

Вычисляем:

\(
F(1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
F(1) = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + C = \frac{13}{6} + C
\)

Приравниваем к значению функции в точке касания:

\(
\frac{13}{6} + C = 3
\)

Отсюда:

\(
C = 3 — \frac{13}{6} = \frac{18}{6} — \frac{13}{6} = \frac{5}{6}
\)

Ответ:

Первообразная для первой точки касания:

\(
F_1(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 — \frac{38}{3}
\)

Первообразная для второй точки касания:

\(
F_2(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6}
\)