ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) = x^2 — 4 \), такую что прямая \( y = -3 \) является касательной к графику функции \( F(x) \).

Прямая является касательной \( F(x) \):
\( f(x) = x^2 — 4, \, y = -3; \)

1) Точки касания:
\(
x^2 — 4 = 0; \quad (x + 2)(x — 2) = 0; \quad x_1 = -2, \, x_2 = 2; \quad y_1 = y_2 = -3;
\)

2) Первообразная:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} — 4x + C;
\)

3) Первое значение:
\(
F_1(-2) = -\frac{8}{3} + 8 + C = -3;
C = -3 — \frac{8}{3} — 8 = -\frac{25}{3};
\)

4) Второе значение:
\(
F_2(2) = \frac{8}{3} — 8 + C = -3;
C = -3 — \frac{8}{3} + 8 = \frac{7}{3};
\)

Ответ:
\(
F_1(x) = \frac{x^3}{3} — 4x — \frac{25}{3}; \quad F_2(x) = \frac{x^3}{3} — 4x + \frac{7}{3}.
\)

(В учебнике дан неверный ответ.)

Прямая является касательной \(F(x)\):
\(f(x) = x^2 — 4, \, y = -3\)

1) Точки касания:
Решим уравнение \(x^2 — 4 = 0\):
\(
x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 2)(x — 2) = 0
\)
Таким образом, корни:
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 2
\)
Для обоих точек касания значение функции равно \(y = -3\):
\(
y_1 = y_2 = -3
\)

2) Первообразная:
Первообразная функции \(f(x)\) записывается как:
\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x^2 — 4) \, dx
\)
Выполним интегрирование:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} — 4x + C
\)

3) Первое значение:
Подставим \(x = -2\) в первообразную \(F(x)\):
\(
F_1(-2) = \frac{(-2)^3}{3} — 4(-2) + C = -3
\)
Выполним вычисления:
\(
F_1(-2) = -\frac{8}{3} + 8 + C = -3
\)
Найдём \(C\):
\(
C = -3 — \frac{8}{3} — 8
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
C = -\frac{9}{3} — \frac{8}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{25}{3}
\)

4) Второе значение:
Подставим \(x = 2\) в первообразную \(F(x)\):
\(
F_2(2) = \frac{2^3}{3} — 4(2) + C = -3
\)
Выполним вычисления:
\(
F_2(2) = \frac{8}{3} — 8 + C = -3
\)
Найдём \(C\):
\(
C = -3 — \frac{8}{3} + 8
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
C = -\frac{9}{3} — \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{7}{3}
\)

Ответ:
Первообразные имеют вид:
\(
F_1(x) = \frac{x^3}{3} — 4x — \frac{25}{3}, \quad F_2(x) = \frac{x^3}{3} — 4x + \frac{7}{3}
\)

В учебнике дан неверный ответ.