ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти такую первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) = -2x + 5 \), что график функции \( F(x) \) имеет только одну общую точку с прямой \( y = 2 \).

Прямая является касательной \(F(x)\):
\(f(x) = -2x + 5, \, y = 2\);

1) Точка касания:
\(-2x + 5 = 0; \quad 2x = 5; \quad x = \frac{5}{2}, \, y = 2;\)

2) Первообразная:
\(
F(x) = -\frac{2x^2}{2} + 5x + C; \quad F(x) = -x^2 + 5x + C;
\)

3) Значение константы:
\(
F\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + C = 2;
\)
\(
C = 2 + \frac{25}{4} — \frac{25}{2} = -\frac{17}{4};
\)

Ответ:
\(
F(x) = -x^2 + 5x — \frac{17}{4}.
\)

Прямая является касательной \(F(x)\):
\(f(x) = -2x + 5, \, y = 2\)

1) Точка касания:
Решим уравнение для нахождения точки касания:
\(
-2x + 5 = 0
\)
Переносим \(5\) в правую часть:
\(
-2x = -5
\)
Делим обе части на \(-2\):
\(
x = \frac{5}{2}
\)
При \(x = \frac{5}{2}\) значение функции \(y\) равно:
\(
y = 2
\)
Таким образом, точка касания имеет координаты:
\(
\left(\frac{5}{2}, 2\right)
\)

2) Первообразная:
Первообразная функции \(f(x)\) записывается как:
\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (-2x + 5) \, dx
\)
Выполним интегрирование каждого члена выражения:
\(
F(x) = -\frac{2x^2}{2} + 5x + C
\)
Упростим выражение:
\(
F(x) = -x^2 + 5x + C
\)

3) Значение константы:
Подставим точку касания \(\left(\frac{5}{2}, 2\right)\) в первообразную, чтобы найти значение \(C\):
\(
F\left(\frac{5}{2}\right) = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{2}\right) + C = 2
\)
Выполним вычисления:
\(
F\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + C = 2
\)
Приведём дроби к общему знаменателю:
\(
-\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} = \frac{25}{4}
\)
Таким образом:
\(
\frac{25}{4} + C = 2
\)
Вычислим \(C\):
\(
C = 2 — \frac{25}{4}
\)
Приведём \(2\) к общему знаменателю:
\(
C = \frac{8}{4} — \frac{25}{4} = -\frac{17}{4}
\)

Итак, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = -x^2 + 5x — \frac{17}{4}
\)