ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите общий вид первообразных функции:}
\)

1) \( f(x) = x + 3; \)

2) \( f(x) = x^2 + 4x — 1; \)

3) \( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}; \)

4) \( f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x \ln 2; \)

5) \( f(x) = \frac{9}{\cos^2(x)} — 3 \sin(x) \quad \text{на промежутке } \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); \)

6) \( f(x) = 5x^{\frac{1}{4}} — \frac{3}{2} \quad \text{на промежутке } (0; +\infty); \)

7) \( f(x) = 6x^2 — \frac{2}{x^2} \quad \text{на промежутке } (0; +\infty); \)

8) \( f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9} \quad \text{на промежутке } (-\infty; 0). \)

1)
\( f(x) = x + 3; \)
\( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C; \)

2)
\( f(x) = x^2 + 4x — 1; \)
\( F(x) = \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} — x = \frac{x^3}{3} + 2x^2 — x + C; \)

3)
\( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1} = \frac{x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = x; \)
\( F(x) = \frac{x^2}{2} + C; \)

4)
\( f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x \cdot \ln 2; \)
\( F(x) = \frac{1}{2} e^x + \frac{2^x \cdot \ln 2}{\ln 2} = \frac{1}{2} e^x + 2^x + C; \)

5)
\(
f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} — 3 \sin x, \quad \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);
\)
\(
F(x) = 9 \tan x + 3 \cos x + C;
\)

6)
\(
f(x) = 5 \sqrt[4]{x} — \frac{3}{x}, \quad (0; +\infty);
\)
\(
F(x) = 5 \cdot x^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{5}{4} — 3 \ln |x| = 4 x^{\frac{5}{4}} — 3 \ln x + C;
\)

7)
\(
f(x) = 6 x^2 — \frac{2}{x^2}, \quad (0; +\infty);
\)
\(
F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 2 \cdot x^{-1} : (-1) = 2 x^3 + \frac{2}{x} + C;
\)

8)
\(
f(x) = 9 x^{-10} + 8 x^{-9}, \quad (-\infty; 0);
\)
\(
F(x) = 9 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + 8 \cdot \frac{x^{-8}}{-8} = -\frac{1}{x^9} — \frac{1}{x^8} + C;
\)

1)
\( f(x) = x + 3; \)
Для нахождения первообразной используем правило интегрирования:
\(
F(x) = \int (x + 3) \, dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C.
\)

2)
\( f(x) = x^2 + 4x — 1; \)
Для нахождения первообразной используем правило интегрирования:
\(
F(x) = \int (x^2 + 4x — 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} — x = \frac{x^3}{3} + 2x^2 — x + C.
\)

3)
\( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}; \)
Сначала упростим функцию:
\(
f(x) = \frac{x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = x.
\)
Теперь находим первообразную:
\(
F(x) = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C.
\)

4)
\( f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x \cdot \ln 2; \)
Находим первообразную для каждого слагаемого:
\(
F(x) = \int \left( \frac{1}{2} e^x + 2^x \ln 2 \right) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{2^x \cdot \ln 2}{\ln 2} + C = \frac{1}{2} e^x + 2^x + C.
\)

5)
\( f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} — 3 \sin x, \quad (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}); \)
Находим первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) \, dx = 9 \tan x + 3 \cos x + C.
\)

6)
\( f(x) = 5 \sqrt[4]{x} — \frac{3}{x}, \quad (0; +\infty); \)
Находим первообразную для каждого слагаемого:
\(
F(x) = \int \left( 5 x^{\frac{1}{4}} — 3 x^{-1} \right) dx = 5 \cdot x^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{4}{5} — 3 \ln |x| = 4 x^{\frac{5}{4}} — 3 \ln x + C.
\)

7)
\( f(x) = 6 x^2 — \frac{2}{x^2}, \quad (0; +\infty); \)
Находим первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 2 \cdot (-\frac{1}{x}) = 2 x^3 + \frac{2}{x} + C.
\)

8)
\( f(x) = 9 x^{-10} + 8 x^{-9}, \quad (-\infty; 0); \)
Находим первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) \, dx = 9 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + 8 \cdot \frac{x^{-8}}{-8} = -\frac{1}{x^9} — \frac{1}{x^8} + C.
\)