ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Учащийся ищет первообразную функции \( y = \cos(x^2) \) следующим образом:

1. Делает замену \( x^2 = t \) и получает функцию \( y = \cos(t) \);
2. Далее ищет первообразную функции \( y = \cos(t) \) и получает \( y = \sin(t) + C \);
3. Потом вместо \( t \) подставляет значение \( t = x^2 \) и делает вывод, что каждая первообразная имеет вид \( y = \sin(x^2) + C \), где \( C \) — некоторое число.

В чём состоит ошибка этого учащегося?

Проверим найденную первообразную:
\(F(x) = \sin x^2 + C, \, f(x) = \cos x^2;\)
\(F'(x) = 2x \cdot \cos x^2 = f(x);\)

Ошибка ученика заключается в том, что функция \(y = \cos t\), где \(t = x^2\), является сложной, её первообразная вычисляется по специальному правилу.

Проверим найденную первообразную:

\(
F(x) = \sin x^2 + C, \quad f(x) = \cos x^2.
\)

Выполним дифференцирование \(F(x)\):

\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x^2 + C \right).
\)

Поскольку константа \(C\) при дифференцировании исчезает, остаётся:

\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x^2 \right).
\)

Применим правило дифференцирования сложной функции. Если \(y = \sin u\), где \(u = x^2\), то производная вычисляется как:

\(
\frac{d}{dx} \sin u = \cos u \cdot \frac{du}{dx}.
\)

В данном случае \(u = x^2\), поэтому:

\(
\frac{du}{dx} = 2x.
\)

Таким образом,

\(
F'(x) = \cos x^2 \cdot 2x.
\)

Получаем:

\(
F'(x) = 2x \cdot \cos x^2.
\)

Это не совпадает с функцией \(f(x) = \cos x^2\), так как производная содержит дополнительный множитель \(2x\). Следовательно, ошибка ученика заключается в том, что он не учёл правило дифференцирования сложной функции.

Функция \(y = \cos t\), где \(t = x^2\), является сложной. Её первообразная вычисляется по специальному правилу интегрирования сложных функций.