Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Учащийся ищет первообразную функции \( y = \cos(x^2) \) следующим образом:
1. Делает замену \( x^2 = t \) и получает функцию \( y = \cos(t) \);
2. Далее ищет первообразную функции \( y = \cos(t) \) и получает \( y = \sin(t) + C \);
3. Потом вместо \( t \) подставляет значение \( t = x^2 \) и делает вывод, что каждая первообразная имеет вид \( y = \sin(x^2) + C \), где \( C \) — некоторое число.
В чём состоит ошибка этого учащегося?
Проверим найденную первообразную:
\(F(x) = \sin x^2 + C, \, f(x) = \cos x^2;\)
\(F'(x) = 2x \cdot \cos x^2 = f(x);\)
Ошибка ученика заключается в том, что функция \(y = \cos t\), где \(t = x^2\), является сложной, её первообразная вычисляется по специальному правилу.
Проверим найденную первообразную:
\(
F(x) = \sin x^2 + C, \quad f(x) = \cos x^2.
\)
Выполним дифференцирование \(F(x)\):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x^2 + C \right).
\)
Поскольку константа \(C\) при дифференцировании исчезает, остаётся:
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x^2 \right).
\)
Применим правило дифференцирования сложной функции. Если \(y = \sin u\), где \(u = x^2\), то производная вычисляется как:
\(
\frac{d}{dx} \sin u = \cos u \cdot \frac{du}{dx}.
\)
В данном случае \(u = x^2\), поэтому:
\(
\frac{du}{dx} = 2x.
\)
Таким образом,
\(
F'(x) = \cos x^2 \cdot 2x.
\)
Получаем:
\(
F'(x) = 2x \cdot \cos x^2.
\)
Это не совпадает с функцией \(f(x) = \cos x^2\), так как производная содержит дополнительный множитель \(2x\). Следовательно, ошибка ученика заключается в том, что он не учёл правило дифференцирования сложной функции.
Функция \(y = \cos t\), где \(t = x^2\), является сложной. Её первообразная вычисляется по специальному правилу интегрирования сложных функций.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.