ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите общий вид первообразных функции:}
\)

1) \( f(x) = \sin(5x); \)

2) \( f(x) = 2 \cos\left(\frac{x}{2}\right); \)

3) \( f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3; \)

4) \( f(x) = \left(\frac{x}{7} — 2\right)^4; \)

5) \( f(x) = \frac{1}{e^{2x}}; \)

6) \( f(x) = 7^{3x}; \)

7) \( f(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(x/3 — \frac{\pi}{4}\right); \)

8) \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x)} \quad \text{на промежутке } \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right); \)

9) \( f(x) = \frac{8}{\sin^2(4x)} \quad \text{на промежутке } (0; \frac{\pi}{4}); \)

10) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} \quad \text{на промежутке } \left(\frac{1}{2}; +\infty\right); \)

11) \( f(x) = \sqrt{x + 4} \quad \text{на промежутке } [4; +\infty); \)

12) \( f(x) = \frac{6}{3x + 2} \quad \text{на промежутке } \left(-\frac{2}{3}; +\infty\right); \)

13) \( f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2} \quad \text{на промежутке } (-\infty; \frac{3}{4}); \)

14) \( f(x) = \sqrt{1 — \frac{x}{2}} \quad \text{на промежутке } (-\infty; 2]. \)

Найти первообразную функции:

1)
\(
f(x) = \sin 5x;
\)

\(
F(x) = \frac{1}{5} \cdot (-\cos 5x) = -\frac{\cos 5x}{5} + C;
\)

2)
\(
f(x) = 2 \cos \frac{x}{2};
\)

\(
F(x) = 1 : \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x}{2} = 4 \sin \frac{x}{2} + C;
\)

3)
\(
f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3;
\)

\(
F(x) = \frac{1}{6} \left(6x + \frac{1}{2}\right)^4 : 4 = \frac{1}{24} \cdot \left(6x + \frac{1}{2}\right)^4 + C;
\)

4)
\(
f(x) = \left(\frac{x}{7} — 2\right)^4;
\)

\(
F(x) = 1 : \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 : 5 = \frac{7}{5} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 + C;
\)

5)
\(
f(x) = \frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x};
\)

\(
F(x) = -\frac{1}{2} e^{-2x} = -\frac{1}{2 e^{2x}} + C;
\)

6)
\(
f(x) = 7^{3x};
\)

\(
F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7^{3x}}{\ln 7} + C;
\)

7)
\(
f(x) = -\frac{1}{3} \sin \left(x — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}\right);
\)

\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} \cdot \left(-\cos \left(x — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos \left(x — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}\right) + C;
\)

8)
\(
f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}, \quad \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right);
\)

\(
F(x) = \frac{1}{3} \cdot \tan 3x + C;
\)

9)
\(
f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}, \quad \left(0; \frac{\pi}{4}\right);
\)

\(
F(x) = 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\cot 4x) = -2 \cot 4x + C;
\)

10)
\(
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}, \quad \left(\frac{1}{2}; +\infty\right);
\)

\(
F(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x — 1)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} = \sqrt{2x — 1} + C;
\)

11)
\(
f(x) = \sqrt{x + 4}, \quad (-4; +\infty);
\)

\(
F(x) = (x + 4)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{(x+4)^3} + C;
\)

12)
\(
f(x) = \frac{6}{3x + 2}, \quad \left(-\frac{2}{3}; +\infty\right);
\)

\(
F(x) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \ln|3x + 2| = 2 \ln(3x + 2) + C;
\)

13)
\(
f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2}, \quad (-\infty; \frac{3}{4});
\)

\(
F(x) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (4x — 3)^{-1} : (-1) = -\frac{1}{4x — 3} + C;
\)

14)
\(
f(x) = \sqrt[3]{1 — \frac{x}{2}}, \quad (-\infty; 2);
\)

\(
F(x) = 1 : \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 — \frac{x}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\left(1 — \frac{x}{2}\right)^3} + C;
\)

Найти первообразную функции:

1)
\(
f(x) = \sin 5x
\)
Для нахождения первообразной используем формулу интегрирования синуса:
\(
F(x) = \frac{1}{5} \cdot (-\cos 5x) = -\frac{\cos 5x}{5} + C
\)

2)
\(
f(x) = 2 \cos \frac{x}{2}
\)
Используем формулу интегрирования косинуса:
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} \sin \frac{x}{2} = 4 \sin \frac{x}{2} + C
\)

3)
\(
f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3
\)
Используем правило интегрирования степенной функции:
\(
F(x) = \frac{1}{6} \left(6x + \frac{1}{2}\right)^4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \cdot \left(6x + \frac{1}{2}\right)^4 + C
\)

4)
\(
f(x) = \left(\frac{x}{7} — 2\right)^4
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = \frac{1}{4 + 1} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{35} \cdot \left(\frac{x}{7} — 2\right)^5 + C
\)

5)
\(
f(x) = \frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x}
\)
Для нахождения первообразной используем правило интегрирования экспоненты:
\(
F(x) = -\frac{1}{2} e^{-2x} = -\frac{1}{2 e^{2x}} + C
\)

6)
\(
f(x) = 7^{3x}
\)
Используем правило интегрирования для экспоненциальной функции:
\(
F(x) = \frac{7^{3x}}{3 \ln 7} + C
\)

7)
\(
f(x) = -\frac{1}{3} \sin \left(x — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}\right)
\)
Используем формулу интегрирования синуса:
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot (-\cos (x — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4})) = \frac{1}{3} \cos (x — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}) + C
\)

8)
\(
f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}, \quad (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = \tan 3x \cdot \frac{1}{3} + C
\)

9)
\(
f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}, \quad (0; \frac{\pi}{4})
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = 8 \cdot (-\cot 4x) \cdot \frac{1}{4} = -2 \cot 4x + C
\)

10)
\(
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}, \quad (\frac{1}{2}; +\infty)
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = 2(2x — 1)^{\frac{1}{2}} + C
\)

11)
\(
f(x) = \sqrt{x + 4}, \quad (-4; +\infty)
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = (x + 4)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{2} + C
\)

12)
\(
f(x) = \frac{6}{3x + 2}, \quad (-\frac{2}{3}; +\infty)
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = 6 \cdot \ln|3x + 2| / 3 = 2 \ln(3x + 2) + C
\)

13)
\(
f(x) = \frac{4}{(4x — 3)^2}, \quad (-\infty; \frac{3}{4})
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = -\frac{4}{4x — 3} + C
\)

14)
\(
f(x) = (1 — \frac{x}{2})^{\frac{1}{3}}, \quad (-\infty; 2)
\)
Используем правило интегрирования:
\(
F(x) = -\frac{4}{3} (1 — \frac{x}{2})^{\frac{4}{3}} + C
\)