Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Найдите общий вид первообразных функции:}
\)
1) \( f(x) = \sin\left(\frac{x}{4}\right); \)
2) \( f(x) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right); \)
3) \( f(x) = e^{5 — \frac{x}{2}}; \)
4) \( f(x) = \frac{1}{2^{3x + 5}}; \)
5) \( f(x) = (2x — 3)^5; \)
6) \( f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right)} \quad \text{на промежутке } \left(-\frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}\right); \)
7) \( f(x) = \frac{3}{(3x — 1)^3} \quad \text{на промежутке } \left(\frac{1}{3}; +\infty\right); \)
8) \( f(x) = \frac{1}{3 — x} \quad \text{на промежутке } (-\infty; 3); \)
9) \( f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{5}\right)} \quad \text{на промежутке } (0; 5\pi); \)
10) \( f(x) = (4x + 7)^{\frac{1}{4}} \quad \text{на промежутке } \left(-\frac{7}{4}; +\infty\right). \)
1) \( f(x) = \sin \frac{x}{4} \);
\(
F(x) = 1 : \frac{1}{4} \cdot (-\cos \frac{x}{4}) = -4 \cos \frac{x}{4} + C;
\)
2) \( f(x) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6} — x\right); \)
\(
F(x) = 2 \cdot (-1) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6} — x\right) = -2 \sin \left(\frac{\pi}{6} — x\right) + C;
\)
3) \( f(x) = e^{5 — \frac{x}{2}}; \)
\(
F(x) = 1 : \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot e^{5 — \frac{x}{2}} = -2 e^{5 — \frac{x}{2}} + C;
\)
4) \( f(x) = \frac{1}{2^{3x + 5}} = 2^{-3x — 5}; \)
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{-3x — 5}}{\ln 2} = -\frac{1}{2^{3x + 5} \cdot \ln 8} + C;
\)
5) \( f(x) = (2x — 3)^5; \)
\(
F(x) = \frac{1}{6} (2x — 3)^6 = \frac{1}{12} \cdot (2x — 3)^6 + C;
\)
6)
\(
f(x) = \frac{1}{\cos^2 \left(2x — \frac{\pi}{4}\right)}, \quad \left(-\frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}\right);
\)
\(
F(x) = \frac{1}{2} \cdot \tan \left(2x — \frac{\pi}{4}\right) + C;
\)
7)
\(
f(x) = \frac{3}{(3x — 1)^3}, \quad \left(\frac{1}{3}; +\infty\right);
\)
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (3x — 1)^{-2} : (-2) = -\frac{1}{2(3x — 1)^2} + C;
\)
8)
\(
f(x) = \frac{1}{3 — x}, \quad (-\infty; 3);
\)
\(
F(x) = -1 \cdot \ln |3 — x| = -\ln(3 — x) + C;
\)
9)
\(
f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{5}}, \quad (0; 5\pi);
\)
\(
F(x) = 1 : \frac{1}{5} \cdot \left(-\cot \frac{x}{5}\right) = -5 \cot \frac{x}{5} + C;
\)
10)
\(
f(x) = \sqrt[5]{4x + 7}, \quad \left(-\frac{7}{4}; +\infty\right);
\)
\(
F(x) = \frac{1}{4} \cdot (4x + 7)^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{5} (4x + 7)^{\frac{5}{4}} + C;
\)
1) \( f(x) = \sin \frac{x}{4} \)
Для нахождения первообразной используем формулу интегрирования синуса:
\(
F(x) = -\cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}} + C = -4 \cos\left(\frac{x}{4}\right) + C
\)
2) \( f(x) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) \)
Используем формулу интегрирования косинуса:
\(
F(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6} — x\right) + C = -2 \sin\left(\frac{\pi}{6} — x\right) + C
\)
3) \( f(x) = e^{5 — \frac{x}{2}} \)
Для нахождения первообразной используем правило интегрирования экспоненты:
\(
F(x) = e^{5 — \frac{x}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + C = -2 e^{5 — \frac{x}{2}} + C
\)
4) \( f(x) = \frac{1}{2^{3x + 5}} = 2^{-3x — 5} \)
Используем правило интегрирования для степенной функции:
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{-3x — 5}}{\ln 2} + C = -\frac{1}{2^{3x + 5} \cdot \ln 8} + C
\)
5) \( f(x) = (2x — 3)^5 \)
Используем правило интегрирования степенной функции:
\(
F(x) = \frac{1}{6} (2x — 3)^6 + C
\)
6) \( f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right)}, \quad \left(-\frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}\right) \)
Используем известное свойство функции:
\(
F(x) = \tan\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) + C = \frac{1}{2} \cdot \tan\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) + C
\)
7) \( f(x) = \frac{3}{(3x — 1)^3}, \quad \left(\frac{1}{3}; +\infty\right) \)
Используем правило интегрирования для дробной функции:
\(
F(x) = 3 \cdot (3x — 1)^{-2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + C = -\frac{1}{2(3x — 1)^2} + C
\)
8) \( f(x) = \frac{1}{3 — x}, \quad (-\infty; 3) \)
Используем правило интегрирования для дробной функции:
\(
F(x) = -\ln|3 — x| + C = -\ln(3 — x) + C
\)
9) \( f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{5}\right)}, \quad (0; 5\pi) \)
Используем известное свойство функции:
\(
F(x) = -\cot\left(\frac{x}{5}\right) + C = -5 \cot\left(\frac{x}{5}\right) + C
\)
10) \( f(x) = (4x + 7)^{\frac{1}{5}}, \quad \left(-\frac{7}{4}; +\infty\right) \)
Используем правило интегрирования для степенной функции:
\(
F(x) = \frac{1}{4} (4x + 7)^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{5}{4} + C = \frac{1}{5} (4x + 7)^{\frac{5}{4}} + C
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.