ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Для функции } f \text{ на промежутке } I \text{ найдите первообразную } F,
\)
\(
\text{ удовлетворяющую данному условию:}
\)

1) \( f(x) = 1 — 2x, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad F(3) = 2; \)

2) \( f(x) = 3x^2 — 4x, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad F(1) = 4; \)

3) \( f(x) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right), \quad I = (-\infty; +\infty), \quad F(\pi) = 7; \)

4) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right), \quad I = (-\infty; +\infty), \quad F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2; \)

5) \( f(x) = 4 — \frac{1}{x^2}, \quad I = (0; +\infty), \quad F\left(\frac{1}{4}\right) = 1; \)

6) \( f(x) = \frac{7}{x — 4} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}}, \quad I = (4; +\infty), \quad F(5) = 6; \)

7) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}, \quad I = \left(-\frac{1}{6}; +\infty\right), \quad F(4) = 7; \)

8) \( f(x) = e^{3x}, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad F(0) = 1; \)

9) \( f(x) = (2 — 3x)^2, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad F(1) = 0; \)

10) \( f(x) = \frac{4}{\cos^2(6x — \frac{\pi}{6})}, \quad I = \left(-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{9}\right), \quad F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}. \)

1) \( f(x) = 1 — 2x, \quad (-\infty; +\infty), \quad F(3) = 2; \)

\(
F(x) = x — 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x — x^2 + C;
\)
\(
F(3) = 3 — 9 + C = 2, \quad C = 8;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x — x^2 + 8.
\)

2) \( f(x) = 3x^2 — 4x, \quad (-\infty; +\infty), \quad F(1) = 4; \)
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} — 4 \cdot \frac{x^2}{2} = x^3 — 2x^2 + C;
\)
\(
F(1) = 1 — 2 + C = 4, \quad C = 5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^3 — 2x^2 + 5.
\)

3) \( f(x) = \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, \quad (-\infty; +\infty), \quad F(\pi) = 7; \)
\(
F(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(-\cos \frac{x}{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{3} + C;
\)
\(
F(\pi) = 1 — \frac{1}{2} + C = 7, \quad C = 6.5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{3} + 6.5.
\)

4) \( f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4} — 3x\right), \quad (-\infty; +\infty), \quad F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2; \)
\(
F(x) = \frac{1}{3} \sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + C;
\)

\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3} \sin \left(3 \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + C = 2;
\)

\(
\frac{1}{3} + C = 2, \quad C = \frac{5}{3};
\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{3} \sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + \frac{5}{3}.
\)

5) \( f(x) = 4 — \frac{1}{x^2}, \quad (0; +\infty), \quad F\left(\frac{1}{4}\right) = 1; \)
\(
F(x) = 4x — x^{-1} : (-1) = 4x + \frac{1}{x} + C;
\)

\(
F\left(\frac{1}{4}\right) = 1 + 4 + C = 1, \quad C = -4;
\)

Ответ:
\(
F(x) = 4x + \frac{1}{x} — 4.
\)

6) \( f(x) = \frac{7}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x+4}}, \quad (4; +\infty), \quad F(5) = 6; \)
\(
F(x) = 7 \ln|x — 4| + (x+4)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2};
\)

\(
F(x) = 7 \ln(x — 4) + 2 \sqrt{x + 4} + C;
\)

\(
F(5) = 7 \ln(5 — 4) + 2 \sqrt{5 + 4} + C = 6;
\)

\(
7 \ln 1 + 2 \cdot 3 + C = 6, \quad C = 0;
\)

Ответ:
\(
F(x) = 7 \ln(x — 4) + 2 \sqrt{x + 4}.
\)

7) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}, \quad \left(-\frac{1}{6}; +\infty\right), \quad F(4) = 7; \)
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}} \cdot (6x + 1)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} = \sqrt{6x + 1} + C;
\)

\(
F(4) = \sqrt{24 + 1} + C = 7;
\)

\(
5 + C = 7, \quad C = 2;
\)

Ответ:
\(
F(x) = \sqrt{6x + 1} + 2.
\)

8) \( f(x) = e^{3x}, \quad (-\infty; +\infty), \quad F(0) = 1; \)
\(
F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} + C;
\)

\(
F(0) = \frac{1}{3} \cdot e^0 + C = 1, \quad C = \frac{2}{3};
\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{2}{3}.
\)

9) \( f(x) = (2 — 3x)^2, \quad (-\infty; +\infty), \quad F(1) = 0; \)
\(
F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2 — 3x)^3}{3} = \frac{(3x — 2)^3}{9} + C;
\)

\(
F(1) = \frac{(3 — 2)^3}{9} + C = 0, \quad C = -\frac{1}{9};
\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{(3x — 2)^3}{9} — \frac{1}{9}.
\)

10) \( f(x) = \frac{4}{\cos^2 (6x — \frac{\pi}{6})}, \quad (-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{9}), \quad F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}; \)
\(
F(x) = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \tan(6x — \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3} \tan(6x — \frac{\pi}{6}) + C;
\)

\(
F(0) = \frac{2}{3} \tan(-\frac{\pi}{6}) + C = -\frac{2\sqrt{3}}{9};
\)

\(
\frac{2}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) + C = -\frac{2\sqrt{3}}{9}, \quad C = 0;
\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{2}{3} \tan(6x — \frac{\pi}{6}).
\)

1) Дана функция
\( f(x) = 1 — 2x, \quad x \in (-\infty, +\infty), \quad F(3) = 2. \)

Найдём первообразную \(F(x)\):

\(
F(x) = \int (1 — 2x) \, dx = \int 1 \, dx — \int 2x \, dx = x — x^2 + C.
\)

Подставим условие \(F(3) = 2\):

\(
F(3) = 3 — 9 + C = 2 — -6 + C = 2 — C = 8.
\)

Ответ:

\(
F(x) = x — x^2 + 8.
\)

2) Дана функция
\(
f(x) = 3x^2 — 4x, \quad x \in (-\infty, +\infty), \quad F(1) = 4.
\)

Найдём первообразную:

\(
F(x) = \int (3x^2 — 4x) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} — 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 — 2x^2 + C.
\)

Подставим условие \(F(1) = 4\):

\(
F(1) = 1 — 2 + C = 4 — -1 + C = 4 — C = 5.
\)

Ответ:

\(
F(x) = x^3 — 2x^2 + 5.
\)

3) Дана функция
\(
f(x) = \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, \quad x \in (-\infty, +\infty), \quad F(\pi) = 7.
\)

Найдём первообразную:

\(
F(x) = \int \left(\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{3} \cdot (-3 \cos \frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{x}{2}) + C =
\)
\(
= -\cos \frac{x}{3} + \sin \frac{x}{2} + C.
\)

Подставим условие \(F(\pi) = 7\):

\(
F(\pi) = -\cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{2} + C = -\frac{1}{2} + 1 + C = \frac{1}{2} + C = 7 — C = \frac{13}{2} = 6.5.
\)

Ответ:

\(
F(x) = \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{3} + 6.5.
\)

4) Дана функция
\(
f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4} — 3x\right), \quad x \in (-\infty, +\infty), \quad F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2.
\)

Найдём первообразную. Используем замену:

\(
u = 3x — \frac{\pi}{4} — du = 3 dx — dx = \frac{du}{3}.
\)

Тогда

\(
F(x) = \int \cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) dx = \int \cos(-u) \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \cos u \, du = \frac{1}{3} \sin u + C =
\)
\(
= \frac{1}{3} \sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + C.
\)

Подставим условие \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\):

\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3} \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + C = \frac{1}{3} \sin \frac{2\pi}{4} + C = \frac{1}{3} \sin \frac{\pi}{2} + C = \frac{1}{3} + C = 2.
\)

Отсюда

\(
C = 2 — \frac{1}{3} = \frac{5}{3}.
\)

Ответ:

\(
F(x) = \frac{1}{3} \sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) + \frac{5}{3}.
\)

5) Дана функция
\(
f(x) = 4 — \frac{1}{x^2}, \quad x \in (0, +\infty), \quad F\left(\frac{1}{4}\right) = 1.
\)

Найдём первообразную:

\(
F(x) = \int \left(4 — x^{-2}\right) dx = 4x — \int x^{-2} dx = 4x + \frac{1}{x} + C.
\)

Подставим условие \(F\left(\frac{1}{4}\right) = 1\):

\(
F\left(\frac{1}{4}\right) = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{\frac{1}{4}} + C = 1 + 4 + C = 5 + C = 1 — C = -4.
\)

Ответ:

\(
F(x) = 4x + \frac{1}{x} — 4.
\)

6) Дана функция
\(
f(x) = \frac{7}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x+4}}, \quad x \in (4, +\infty), \quad F(5) = 6.
\)

Найдём первообразную:

\(
F(x) = \int \frac{7}{x-4} dx + \int (x+4)^{-\frac{1}{2}} dx = 7 \ln|x-4| + 2 \sqrt{x+4} + C.
\)

Подставим условие \(F(5) = 6\):

\(
F(5) = 7 \ln (5-4) + 2 \sqrt{5+4} + C = 7 \ln 1 + 2 \cdot 3 + C = 0 + 6 + C =
\)
\(
= 6 — C = 0.
\)

Ответ:

\(
F(x) = 7 \ln (x-4) + 2 \sqrt{x+4}.
\)

7) Дана функция
\(
f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}, \quad x \in \left(-\frac{1}{6}, +\infty \right), \quad F(4) = 7.
\)

Найдём первообразную. Заметим, что

\(
\int \frac{3}{\sqrt{6x+1}} dx = 3 \int (6x+1)^{-\frac{1}{2}} dx.
\)

Подставим \(t = 6x + 1\), тогда \(dt = 6 dx\), \(dx = \frac{dt}{6}\):

\(
3 \int t^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{dt}{6} = \frac{3}{6} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} + C = \sqrt{6x + 1} + C.
\)

Подставим условие \(F(4) = 7\):

\(
F(4) = \sqrt{6 \cdot 4 + 1} + C = \sqrt{24 + 1} + C = 5 + C = 7 — C = 2.
\)

Ответ:

\(
F(x) = \sqrt{6x + 1} + 2.
\)

8) Дана функция
\(
f(x) = e^{3x}, \quad x \in (-\infty, +\infty), \quad F(0) = 1.
\)

Найдём первообразную:

\(
F(x) = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C.
\)

Подставим условие \(F(0) = 1\):

\(
F(0) = \frac{1}{3} e^{0} + C = \frac{1}{3} + C = 1 — C = \frac{2}{3}.
\)

Ответ:

\(
F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{2}{3}.
\)

9) Дана функция
\(
f(x) = (2 — 3x)^2, \quad x \in (-\infty, +\infty), \quad F(1) = 0.
\)

Найдём первообразную. Используем подстановку:

\(
u = 2 — 3x, \quad du = -3 dx, \quad dx = -\frac{du}{3}.
\)

Тогда

\(
F(x) = \int (2 — 3x)^2 dx = \int u^2 \cdot \left(-\frac{du}{3}\right) = -\frac{1}{3} \int u^2 du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^3}{3} + C =
\)
\(
= -\frac{(2 — 3x)^3}{9} + C.
\)

Можно переписать как

\(
F(x) = \frac{(3x — 2)^3}{9} + C,
\)

так как \(-(2 — 3x)^3 = (3x — 2)^3\).

Подставим условие \(F(1) = 0\):

\(
F(1) = \frac{(3 \cdot 1 — 2)^3}{9} + C = \frac{1^3}{9} + C = \frac{1}{9} + C = 0 — C = -\frac{1}{9}.
\)

Ответ:

\(
F(x) = \frac{(3x — 2)^3}{9} — \frac{1}{9}.
\)

10) Дана функция
\(
f(x) = \frac{4}{\cos^2 \left(6x — \frac{\pi}{6}\right)}, \quad x \in \left(-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{9}\right), \quad F(0) = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}.
\)

Найдём первообразную. Заметим, что

\(
\frac{1}{\cos^2 t} = \sec^2 t = \frac{d}{dt} \tan t.
\)

Поэтому

\(
F(x) = \int \frac{4}{\cos^2 \left(6x — \frac{\pi}{6}\right)} dx = 4 \int \sec^2 \left(6x — \frac{\pi}{6}\right) dx.
\)

Сделаем замену:

\(
u = 6x — \frac{\pi}{6}, \quad du = 6 dx, \quad dx = \frac{du}{6}.
\)

Тогда

\(
F(x) = 4 \int \sec^2 u \cdot \frac{du}{6} = \frac{2}{3} \int \sec^2 u \, du = \frac{2}{3} \tan u + C = \frac{2}{3} \tan \left(6x — \frac{\pi}{6}\right) + C.
\)

Подставим условие \(F(0) = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}\):

\(
F(0) = \frac{2}{3} \tan \left(-\frac{\pi}{6}\right) + C = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + C = -\frac{2 \sqrt{3}}{9} + C = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}.
\)

Отсюда

\(
C = 0.
\)

Ответ:

\(
F(x) = \frac{2}{3} \tan \left(6x — \frac{\pi}{6}\right).
\)