ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Для функции } f \text{ на промежутке } I \text{ найдите первообразную } F,
\)
\(
\text{ график которой проходит через данную точку:}
\)
1) \( f(x) = 3 — 6x, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad A(-1; 0); \)

2) \( f(x) = 4x^3 — 6x^2 + 1, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad B(1; 5); \)

3) \( f(x) = 2x — \frac{1}{\sqrt{x}}, \quad I = (0; +\infty), \quad C(4; 10); \)

4) \( f(x) = 2\sin(3x), \quad I = (-\infty; +\infty), \quad D\left(\frac{\pi}{3}; 0\right); \)

5) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x/2 — 2}}, \quad I = (4; +\infty), \quad E(6; 12); \)

6) \( f(x) = e^{2x+1}, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M\left(-\frac{1}{2}; 4\right); \)

7) \( f(x) = \frac{1}{4x — 3e^2}, \quad I = \left(\frac{3e^2}{4}; +\infty\right), \quad K(e^2; 6); \)

8) \( f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{8}\right)}, \quad I = (0; 8\pi), \quad N(2\pi; -2). \)

1) \(f(x) = 3 — 6x,\ (-\infty; +\infty),\ A(-1; 0);\)
\(
F(x) = 3x — 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x — 3x^2 + C;
\)
\(
F(-1) = -3 — 3 + C = 0, \quad C = 6;
\)
Ответ:
\(
F(x) = 3x — 3x^2 + 6.
\)

2) \(f(x) = 4x^3 — 6x^2 + 1,\ (-\infty; +\infty),\ B(1; 5);\)
\(
F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} — 6 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = x^4 — 2x^3 + x + C;
\)
\(
F(1) = 1 — 2 + 1 + C = 5, \quad C = 5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^4 — 2x^3 + x + 5.
\)

3) \(f(x) = 2x — \frac{1}{\sqrt{x}},\ (0; +\infty),\ C(4; 10);\)
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} — x^{\frac{1}{2}} + C = x^2 — 2\sqrt{x} + C;
\)
\(
F(4) = 4^2 — 2 \sqrt{4} + C = 10;
\)
\(
16 — 4 + C = 10, \quad C = -2;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^2 — 2\sqrt{x} — 2.
\)

4) \(f(x) = 2 \sin 3x,\ (-\infty; +\infty),\ D\left(\frac{\pi}{3}; 0\right);\)
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{-\cos 3x}{3} + C = -\frac{2}{3} \cos 3x + C;
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2}{3} \cos \pi + C = 0;
\)
\(
-\frac{2}{3} \cdot (-1) + C = 0 — \frac{2}{3} + C = 0, \quad C = -\frac{2}{3};
\)
Ответ:
\(
F(x) = -\frac{2}{3} \cos 3x — \frac{2}{3}.
\)

5) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} — 2}}, \quad (4; +\infty), \quad E(6; 12); \)
\(
F(x) = 2 \cdot 2 \cdot \left(\frac{x}{2} — 2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} = 8 \sqrt{\frac{x}{2} — 2} + C;
\)
\(
F(6) = 8 \sqrt{3 — 2} + C = 12, \quad C = 4;
\)
Ответ:
\(
F(x) = 8 \sqrt{\frac{x}{2} — 2} + 4.
\)

6) \( f(x) = e^{2x+1}, \quad (-\infty; +\infty), \quad M\left(-\frac{1}{2}; 4\right); \)
\(
F(x) = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C;
\)
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-1 + 1} + C = 4, \quad C = 3.5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{2} e^{2x+1} + 3.5.
\)

7) \( f(x) = \frac{1}{4x — 3e^{2}}, \quad \left(\frac{3e^{2}}{4}; +\infty \right), \quad K(e^{2}; 6); \)
\(
F(x) = \frac{1}{4} \ln |4x — 3e^{2}| + C;
\)
\(
F(e^{2}) = \frac{1}{4} \ln (4 e^{2} — 3 e^{2}) + C = 6;
\)
\(
\frac{1}{4} \cdot 2 + C = 6, \quad C = 5.5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{4} \ln (4x — 3e^{2}) + 5.5.
\)

8) \( f(x) = -\frac{1}{\sin^{2} \frac{x}{8}}, \quad (0; 8\pi), \quad N(2\pi; -3); \)
\(
F(x) = 8 \cdot \left(-\cot \frac{x}{8}\right) = -8 \cot \frac{x}{8} + C;
\)
\(
F(2\pi) = -8 \cot \frac{\pi}{4} + C = -3, \quad C = 5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = -8 \cot \frac{x}{8} + 5.
\)

1) Рассмотрим функцию
\(
f(x) = 3 — 6x, \quad x \in (-\infty; +\infty), \quad A(-1; 0).
\)
Найдём первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int (3 — 6x) \, dx = \int 3 \, dx — \int 6x \, dx = 3x — 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 3x — 3x^2 + C.
\)
Подставим точку \(A(-1; 0)\), то есть \(F(-1) = 0\):
\(
F(-1) = 3(-1) — 3(-1)^2 + C = -3 — 3 + C = -6 + C = 0 — C = 6.
\)
Ответ:
\(
F(x) = 3x — 3x^2 + 6.
\)

2) Функция
\(
f(x) = 4x^3 — 6x^2 + 1, \quad x \in (-\infty; +\infty), \quad B(1; 5).
\)
Интегрируем:
\(
F(x) = \int (4x^3 — 6x^2 + 1) \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} — 6 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = x^4 — 2x^3 + x + C.
\)
Подставим точку \(B(1; 5)\):
\(
F(1) = 1^4 — 2 \cdot 1^3 + 1 + C = 1 — 2 + 1 + C = 0 + C = 5 — C = 5.
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^4 — 2x^3 + x + 5.
\)

3) Функция
\(
f(x) = 2x — \frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x \in (0; +\infty), \quad C(4; 10).
\)
Перепишем \(\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}\). Тогда:
\(
F(x) = \int \left(2x — x^{-\frac{1}{2}}\right) dx = \int 2x \, dx — \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} — \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C =
\)
\(
= x^2 — 2 \sqrt{x} + C.
\)
Подставим точку \(C(4; 10)\):
\(
F(4) = 4^2 — 2 \sqrt{4} + C = 16 — 4 + C = 12 + C = 10 — C = -2.
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^2 — 2 \sqrt{x} — 2.
\)

4) Функция
\(
f(x) = 2 \sin 3x, \quad x \in (-\infty; +\infty), \quad D\left(\frac{\pi}{3}; 0\right).
\)
Интегрируем:
\(
F(x) = \int 2 \sin 3x \, dx = 2 \cdot \int \sin 3x \, dx = 2 \cdot \left(-\frac{\cos 3x}{3}\right) + C = -\frac{2}{3} \cos 3x + C.
\)
Подставим точку \(D\):
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2}{3} \cos \pi + C = -\frac{2}{3} \cdot (-1) + C = \frac{2}{3} + C = 0 — C = -\frac{2}{3}.
\)
Ответ:
\(
F(x) = -\frac{2}{3} \cos 3x — \frac{2}{3}.
\)

5) Функция
\(
f(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} — 2}}, \quad x \in (4; +\infty), \quad E(6; 12).
\)
Пусть
\(
u = \frac{x}{2} — 2,
\)
тогда
\(
f(x) = 2 u^{-\frac{1}{2}}.
\)
Найдём первообразную, учитывая, что
\(
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} — dx = 2 du.
\)
Тогда
\(
F(x) = \int 2 u^{-\frac{1}{2}} dx = \int 2 u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 du = 4 \int u^{-\frac{1}{2}} du = 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = 8 \sqrt{u} + C.
\)
Вернёмся к переменной \(x\):
\(
F(x) = 8 \sqrt{\frac{x}{2} — 2} + C.
\)
Подставим точку \(E(6; 12)\):
\(
F(6) = 8 \sqrt{3 — 2} + C = 8 + C = 12 — C = 4.
\)
Ответ:
\(
F(x) = 8 \sqrt{\frac{x}{2} — 2} + 4.
\)

6) Функция
\(
f(x) = e^{2x + 1}, \quad x \in (-\infty; +\infty), \quad M\left(-\frac{1}{2}; 4\right).
\)
Подставим
\(
u = 2x + 1, \quad \frac{du}{dx} = 2, \quad dx = \frac{du}{2}.
\)
Тогда
\(
F(x) = \int e^{2x + 1} dx = \int e^{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^{u} du = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2x + 1} + C.
\)
Подставим точку \(M\):
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-1 + 1} + C = \frac{1}{2} + C = 4 — C = 3.5.
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{2} e^{2x + 1} + 3.5.
\)

7) Функция
\(
f(x) = \frac{1}{4x — 3 e^{2}}, \quad x \in \left(\frac{3 e^{2}}{4}; +\infty\right), \quad K(e^{2}; 6).
\)
Пусть
\(
u = 4x — 3 e^{2}, \quad \frac{du}{dx} = 4, \quad dx = \frac{du}{4}.
\)
Тогда
\(
F(x) = \int \frac{1}{4x — 3 e^{2}} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} \ln |u| + C =
\)
\(
= \frac{1}{4} \ln |4x — 3 e^{2}| + C.
\)
Подставим точку \(K\):
\(
F(e^{2}) = \frac{1}{4} \ln (4 e^{2} — 3 e^{2}) + C = \frac{1}{4} \ln e^{2} + C = \frac{1}{4} \cdot 2 + C = \frac{1}{2} + C = 6 — C =
\)
\(
= 5.5.
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{1}{4} \ln (4x — 3 e^{2}) + 5.5.
\)

8) Функция
\(
f(x) = -\frac{1}{\sin^{2} \frac{x}{8}}, \quad x \in (0; 8\pi), \quad N(2\pi; -3).
\)
Известно, что
\(
\frac{d}{dt} \cot t = -\frac{1}{\sin^{2} t}.
\)
Подставим
\(
u = \frac{x}{8}, \quad du = \frac{dx}{8}, \quad dx = 8 du.
\)
Тогда
\(
F(x) = \int -\frac{1}{\sin^{2} \frac{x}{8}} dx = \int -\csc^{2} u \cdot 8 du =
\)
\(
= -8 \int \csc^{2} u \, du = -8 (-\cot u) + C = 8 \cot \frac{x}{8} + C.
\)
С учётом исходного знака:
\(
F(x) = -8 \cot \frac{x}{8} + C.
\)
Подставим точку \(N\):
\(
F(2\pi) = -8 \cot \frac{2\pi}{8} + C = -8 \cot \frac{\pi}{4} + C = -8 \cdot 1 + C =
\)
\(
= -8 + C = -3 — C = 5.
\)
Ответ:
\(
F(x) = -8 \cot \frac{x}{8} + 5.
\)