ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \( f(x) = 4x^3 + 4x \) найдите первообразную \( F \), один из нулей которой равен \( -1 \). Найдите остальные нули этой первообразной.

1) Первообразная функции:
\(
F(x) = \int (4x^3 + 4x) dx = x^4 + 2x^2 + C
\)

2) Один из нулей:
\(
F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C = 1 + 2 + C = 0 — C = -3
\)

3) Остальные нули:
\(
x^4 + 2x^2 — 3 = 0
\)
Введём замену \( t = x^2 \):
\(
t^2 + 2t — 3 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\)
Корни:
\(
t_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1
\)
Возвращаемся к \( x^2 \):
\(
x^2 = -3 \quad (\text{нет решения}), \quad x^2 = 1 — x = \pm1
\)

Ответ:
\( F(x) = x^4 + 2x^2 — 3 \), \( x = \pm1 \).

1) Первообразная функции:
\(
F(x) = \int (4x^3 + 4x) dx = x^4 + 2x^2 + C
\)

2) Один из нулей:
\(
F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C = 1 + 2 + C = 0
\)
Отсюда:
\(
C = -3
\)

3) Остальные нули:
Рассмотрим уравнение:
\(
x^4 + 2x^2 — 3 = 0
\)
Введём замену:
\(
t = x^2
\)
Тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 + 2t — 3 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\)
Найдём корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1
\)
Возвращаемся к переменной \( x^2 \):
\(
x^2 = -3 \quad (\text{нет решения, так как \( x^2 \geq 0 \)}), \quad x^2 = 1
\)
Из \( x^2 = 1 \) следует:
\(
x = \pm1
\)

Ответ:
\(
F(x) = x^4 + 2x^2 — 3, \quad x = \pm1
\)