ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \( f(x) = 4x^3 + 4x \) найдите первообразную \( F \), один из нулей которой равен \( -1 \). Найдите остальные нули этой первообразной.

Дана функция: \( f(x) = x^2 — 12 \).

1) Первообразная функции:
\(
F(x) = \int (x^2 — 12) dx = \frac{x^3}{3} — 12x + C
\)

2) Один из нулей:
\(
F(3) = \frac{3^3}{3} — 12 \cdot 3 + C = 0
\)
Вычисляем:
\(
F(3) = \frac{27}{3} — 36 + C = 9 — 36 + C = 0
\)
Отсюда:
\(
C = 27
\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + 27
\)

Дана функция:
\(
f(x) = x^2 — 12
\)

1. Найдём первообразную функции:

Первообразная функции \( F(x) \) находится как интеграл от \( f(x) \):
\(
F(x) = \int (x^2 — 12) dx
\)

Рассчитаем каждый член интеграла отдельно:

1. Интеграл от \( x^2 \):
\(
\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}
\)

2. Интеграл от \( -12 \):
\(
\int (-12) dx = -12x
\)

Сложим результаты:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + C
\)
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

2. Найдём константу \( C \):

По условию, первообразная функции равна нулю в точке \( x = 3 \). То есть:
\(
F(3) = 0
\)

Подставим \( x = 3 \) в выражение для \( F(x) \):
\(
F(3) = \frac{3^3}{3} — 12 \cdot 3 + C
\)

Вычислим значения:

1. Рассчитаем \( \frac{3^3}{3} \):
\(
\frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9
\)

2. Рассчитаем \( -12 \cdot 3 \):
\(
-12 \cdot 3 = -36
\)

Теперь подставим значения в выражение:
\(
F(3) = 9 — 36 + C
\)

Условие говорит, что \( F(3) = 0 \). Запишем уравнение:
\(
9 — 36 + C = 0
\)

Упростим:
\(
C = 36 — 9 = 27
\)

3. Запишем окончательное выражение для первообразной функции:

Теперь, зная значение константы \( C = 27 \), можем записать первообразную:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + 27
\)

Ответ:
Первообразная функции имеет вид:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} — 12x + 27
\)