ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 10.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Функции } F_1 \text{ и } F_2 \text{ являются первообразными функции } f \text{ на промежутке } (-\infty; +\infty).
\)

\(
\text{График функции } F_1 \text{ проходит через точку } A, \text{ а функции } F_2 \text{ — через точку } B.
\)

\(
\text{График какой из функций, } F_1 \text{ или } F_2, \text{ расположен выше, если:}
\)

1. \( f(x) = 5x^4 — 3x^2 — 2, \quad A(1; 2), \quad B(0; 5); \)

2. \( f(x) = (2x — 1)^2, \quad A(2; 6), \quad B(-1; 1). \)

1) \( f(x) = 5x^4 — 3x^2 — 2 \), \( A(1; 2) \), \( B(0; 5) \):
\(
F(x) = \int (5x^4 — 3x^2 — 2) dx = x^5 — x^3 — 2x + C
\)
Для точки \( A(1; 2) \):
\(
F(1) = 1^5 — 1^3 — 2 \cdot 1 + C = 2
\)
Рассчитаем:
\(
F(1) = 1 — 1 — 2 + C = 2 — C = 4
\)
Для точки \( B(0; 5) \):
\(
F(0) = 0^5 — 0^3 — 2 \cdot 0 + C = 5
\)
Рассчитаем:
\(
F(0) = 0 — 0 — 0 + C = 5 — C = 5
\)
Ответ: \( F_2 \)

2) \( f(x) = (2x — 1)^2 \), \( A(2; 6) \), \( B(-1; 1) \):
\(
F(x) = \int (2x — 1)^2 dx = \frac{(2x — 1)^3}{6} + C
\)
Для точки \( A(2; 6) \):
\(
F(2) = \frac{(4 — 1)^3}{6} + C = 6
\)
Рассчитаем:
\(
F(2) = \frac{27}{6} + C = 6 — C = 1.5
\)
Для точки \( B(-1; 1) \):
\(
F(-1) = \frac{(-2 — 1)^3}{6} + C = 1
\)
Рассчитаем:
\(
F(-1) = \frac{-27}{6} + C = 1 — C = 5.5
\)
Ответ: \( F_2 \)

1. Дана функция:
\( f(x) = 5x^4 — 3x^2 — 2 \)
Точки: \( A(1; 2) \), \( B(0; 5) \).

Найдём первообразную функции \( F(x) \):
\( F(x) = \int (5x^4 — 3x^2 — 2) dx \)
Рассчитаем интеграл:

1. Интеграл от \( 5x^4 \):
\( \int 5x^4 dx = \frac{5x^5}{5} = x^5 \)

2. Интеграл от \( -3x^2 \):
\( \int -3x^2 dx = -\frac{3x^3}{3} = -x^3 \)

3. Интеграл от \( -2 \):
\( \int -2 dx = -2x \)

Сложим результаты и добавим константу интегрирования \( C \):
\( F(x) = x^5 — x^3 — 2x + C \)

Найдём константу \( C \) для точки \( A(1; 2) \):
Подставим \( x = 1 \), \( F(1) = 2 \):
\( F(1) = 1^5 — 1^3 — 2 \cdot 1 + C = 2 \)
Рассчитаем значения:
\( F(1) = 1 — 1 — 2 + C = 2 \)
Упростим уравнение:
\( C = 2 + 2 = 4 \)

Найдём константу \( C \) для точки \( B(0; 5) \):
Подставим \( x = 0 \), \( F(0) = 5 \):
\( F(0) = 0^5 — 0^3 — 2 \cdot 0 + C = 5 \)
Рассчитаем значения:
\( F(0) = 0 — 0 — 0 + C = 5 \)
Упростим уравнение:
\( C = 5 \)

Ответ для первой части:
Первообразная функции с заданными условиями:
\( F_2(x) \)

2. Дана функция:
\( f(x) = (2x — 1)^2 \)
Точки: \( A(2; 6) \), \( B(-1; 1) \).

Найдём первообразную функции \( F(x) \):
\( F(x) = \int (2x — 1)^2 dx \)

Используем формулу интегрирования сложной функции:
\( F(x) = \frac{(2x — 1)^3}{6} + C \)

Найдём константу \( C \) для точки \( A(2; 6) \):
Подставим \( x = 2 \), \( F(2) = 6 \):
\( F(2) = \frac{(4 — 1)^3}{6} + C = 6 \)
Рассчитаем значения:
\( F(2) = \frac{27}{6} + C = 6 \)
Упростим уравнение:
\( C = 6 — \frac{27}{6} = \frac{36}{6} — \frac{27}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 \)

Найдём константу \( C \) для точки \( B(-1; 1) \):
Подставим \( x = -1 \), \( F(-1) = 1 \):
\( F(-1) = \frac{(-2 — 1)^3}{6} + C = 1 \)
Рассчитаем значения:
\( F(-1) = \frac{-27}{6} + C = 1 \)
Упростим уравнение:
\( C = 1 + \frac{27}{6} = \frac{6}{6} + \frac{27}{6} = \frac{33}{6} = 5.5 \)

Ответ для второй части:
Первообразная функции с заданными условиями:
\( F_2(x) \)