Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.11.
а) \(y = x^2, \, a = 1, \, b = 2;\)
\(
S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} — \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{7}{3}.
\)
б) \(y = x^3, \, a = 0, \, b = 1;\)
\(
S = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} — \frac{0}{4} = \frac{1}{4}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{1}{4}.
\)
в) \(y = \cos x, \, a = \frac{\pi}{6}, \, b = \frac{\pi}{3};\)
\(
S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}.
\)
\(
S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{\sqrt{3} — 1}{2}.
\)
г) \(y = e^x, \, a = -1, \, b = 1;\)
\(
S = \int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-1}^{1}.
\)
\(
S = e^1 — e^{-1} = e — \frac{1}{e}.
\)
Ответ:
\(
S = e — \frac{1}{e}.
\)
д) \(y = \sqrt{x}, \, a = 0, \, b = 4;\)
\(
S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4.
\)
\(
S = \frac{2}{3} x^{3/2} \Big|_{0}^{4}.
\)
\(
S = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} — \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{16}{3}.
\)
е) \(y = -\frac{6}{x}, \, a = -3, \, b = -2;\)
\(
S = \int_{-3}^{-2} -\frac{6}{x} \, dx = -6 \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} \, dx = -6 \ln |x| \Big|_{-3}^{-2}.
\)
\(
S = -6 (\ln 2 — \ln 3) = -6 (-\ln 3 + \ln 2) = 6 (\ln 3 — \ln 2).
\)
\(
S = 6 \ln \frac{3}{2}.
\)
Ответ:
\(
S = 6 \ln 1.5.
\)
ж) \(y = 4 — x^2, \, a = -2, \, b = 2;\)
\(
S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx = \left[ 4x — \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}.
\)
\(
S = \left( 8 — \frac{8}{3} \right) — \left( -8 + \frac{8}{3} \right).
\)
\(
S = 8 — \frac{8}{3} + 8 — \frac{8}{3} = 16 — \frac{16}{3}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{32}{3}.
\)
з) \(y = \frac{1}{x^2}, \, a = \frac{1}{2}, \, b = 1;\)
\(
S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{-2} \, dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}.
\)
\(
S = -\frac{1}{x} \Big|_{\frac{1}{2}}^{1}.
\)
\(
S = -\frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{1}{2}} = -1 + 2.
\)
Ответ:
\(
S = 1.
\)
а) \(y = x^2, \, a = 1, \, b = 2;\)
\(
S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left( \frac{x^3}{3} \right)_1^2 = \frac{8}{3} — \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{7}{3}.
\)
б) \(y = x^3, \, a = 0, \, b = 1;\)
\(
S = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left( \frac{x^4}{4} \right)_0^1 = \frac{1}{4} — \frac{0}{4} = \frac{1}{4}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{1}{4}.
\)
в) \(y = \cos x, \, a = \frac{\pi}{6}, \, b = \frac{\pi}{3};\)
\(
S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx = \left( \sin x \right)_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}.
\)
Выполним вычисления:
\(
S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{\sqrt{3} — {1}{2}}.
\)
г) \(y = e^x, \, a = -1, \, b = 1;\)
\(
S = \int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left( e^x \right)_{-1}^{1}.
\)
Выполним вычисления:
\(
S = e^1 — e^{-1} = e — \frac{1}{e}.
\)
Ответ:
\(
S = e — \frac{1}{e}.
\)
д) \(y = \sqrt{x}, \, a = 0, \, b = 4;\)
\(
S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx = \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^4.
\)
Упростим выражение:
\(
S = \frac{2}{3} x^{3/2} \Big|_{0}^{4}.
\)
Выполним вычисления:
\(
S = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} — \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{16}{3}.
\)
е) \(y = -\frac{6}{x}, \, a = -3, \, b = -2;\)
\(
S = \int_{-3}^{-2} -\frac{6}{x} \, dx = -6 \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} \, dx = -6 \ln |x| \Big|_{-3}^{-2}.
\)
Выполним вычисления:
\(
S = -6 (\ln 2 — \ln 3) = -6 (-\ln 3 + \ln 2) = 6 (\ln 3 — \ln 2).
\)
Упростим:
\(
S = 6 \ln \frac{3}{2}.
\)
Ответ:
\(
S = 6 \ln 1.5.
\)
ж) \(y = 4 — x^2, \, a = -2, \, b = 2;\)
\(
S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx = \left( 4x — \frac{x^3}{3} \right)_{-2}^{2}.
\)
Выполним вычисления:
\(
S = \left( 8 — \frac{8}{3} \right) — \left( -8 + \frac{8}{3} \right).
\)
Упростим:
\(
S = 8 — \frac{8}{3} + 8 — \frac{8}{3} = 16 — \frac{16}{3}.
\)
Ответ:
\(
S = \frac{32}{3}.
\)
з) \(y = \frac{1}{x^2}, \, a = \frac{1}{2}, \, b = 1;\)
\(
S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{-2} \, dx = \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right)_{\frac{1}{2}}^{1}.
\)
Упростим выражение:
\(
S = -\frac{1}{x} \Big|_{\frac{1}{2}}^{1}.
\)
Выполним вычисления:
\(
S = -\frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{1}{2}} = -1 + 2.
\)
Ответ:
\(
S = 1.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.