ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:}
\)

\( y = x^2, \quad y = 4; \)

\( y = 2x^2, \quad y = 2x; \)

\( y = e^x, \quad y = 1, \quad x = 2; \)

\( y = \frac{4}{x}, \quad y = 1, \quad x = 1; \)

\( y = \frac{4}{x}, \quad y = 4, \quad x = 4; \)

\( y = x^2 — 4x + 5, \quad y = 5; \)

\( y = 2 + x — x^2, \quad y = 2 — x; \)

\( y = x^2 + 2, \quad y = x + 4; \)

\( y = x^2 + 2x + 1, \quad y = x + 3; \)

\( y = -x^2 + 2x, \quad y = x^2; \)

\( y = x^3, \quad y = x^2; \)

\( y = e^x, \quad y = e, \quad x = 0; \)

\( y = \frac{7}{x}, \quad x + y = 8; \)

\( y = \frac{2}{x^2}, \quad y = 2x, \quad x = 2; \)

\( y = \sin(x), \quad y = \cos(x), \quad x = 0, \quad x = \frac{\pi}{4}. \)

1) \(y = x^2\), \(y = 4\);
Точки пересечения:
\(
x^2 — 4 = 0; \quad (x + 2)(x — 2) = 0; \quad x_1 = -2, \, x_2 = 2;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^{2} (x^2 — 4) dx = \frac{x^3}{3} — 4x \Big|_{-2}^{2}
\)
\(
= \left(\frac{8}{3} — 8\right) — \left(-\frac{8}{3} + 8\right) = \frac{16}{3} — 16 = -\frac{32}{3};
\)
Ответ: \(\frac{32}{3}\).

2) \(y = 2x^2\), \(y = 2x\);
Точки пересечения:
\(
2x^2 = 2x; \quad 2(x^2 — x) = 0; \quad x(x — 1) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 1;
\)

Площадь фигуры:
\(S = \int_{0}^{1} (2x^2 — 2x) dx = \frac{2x^3}{3} — x^2 \Big|_{0}^{1}\)
\(
= \frac{2}{3} \cdot 1^3 — 1^2 = \frac{2}{3} — 1 = -\frac{1}{3};
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\).

3) \(y = e^x\), \(y = 1\), \(x = 2\);
Точки пересечения:
\(
e^x = 1; \quad x = 0;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{2} (e^x — 1) dx = e^x — x \Big|_{0}^{2}
\)
\(
= (e^2 — 2) — (e^0 — 0) = e^2 — 3;
\)
Ответ: \(e^2 — 3\).

4) \(y = \frac{4}{x}\), \(y = 1\), \(x = 1\);
Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x} = 1; \quad x = 4;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx = 4 \ln |x| \Big|_{1}^{4}
\)
\(
= (4 \ln 4 — 4) — (4 \ln 1 — 1) = 4 \ln 4 — 3;
\)
Ответ: \(4 \ln 4 — 3\).

5) \(y = \frac{4}{x}\), \(y = 4\), \(x = 4\);
Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x} = 4; \quad x = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{4} \left(\frac{4}{x} — 4\right) dx = 4 \ln |x| — 4x \Big|_{1}^{4}
\)
\(
= (4 \ln 4 — 16) — (4 \ln 1 — 4) = 4 \ln 4 — 12;
\)
Ответ: \(12 — 4 \ln 4\).

6) \(y = x^2 — 4x + 5\), \(y = 5\);
Точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 5 = 5; \quad x(x — 4) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 4;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{4} (x^2 — 4x + 5 — 5) dx = \int_{0}^{4} (x^2 — 4x) dx = \frac{x^3}{3} — 2x^2 \Big|_{0}^{4}
\)
\(
= \left(\frac{64}{3} — 32\right) — \left(0 — 0\right) = -\frac{32}{3};
\)
Ответ: \(\frac{32}{3}\).

7) \(y = 2 + x — x^2\), \(y = 2 — x\);
Точки пересечения:
\(
2 + x — x^2 = 2 — x; \quad x^2 — 2x = 0; \quad x(x — 2) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 2;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{2} (2 + x — x^2 — 2 + x) dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 \Big|_{0}^{2}
\)
\(
= \left(-\frac{8}{3} + 4\right) — \left(-\frac{0}{3} + 0\right) = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3};
\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\).

8) \(y = x^2 + 2\), \(y = x + 4\);
Точки пересечения:
\(
x^2 + 2 = x + 4; \quad x^2 — x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \, \text{тогда:} \, x_1 = -1, \, x_2 = 2;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2 — x — 4) dx = \int_{-1}^{2} (x^2 — x — 2) dx = \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} — 2x \Big|_{-1}^{2}
\)
\(
= \left(\frac{8}{3} — 2 — 4\right) — \left(-\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 2\right) = 3 — \frac{3}{2} — 6 = -\frac{9}{2};
\)
Ответ: \(\frac{9}{2}\).

9) \(y = x^2 + 2x + 1\), \(y = x + 3\);
Точки пересечения:
\(
x^2 + 2x + 1 = x + 3; \quad x^2 + x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \, \text{тогда:} \, x_1 = -1, \, x_2 = 1;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 1 — x — 3) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} — 2x \Big|_{-2}^{1}
\)
\(
= \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2\right) — \left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4\right) = 3 — \frac{3}{2} — 6 = -\frac{9}{2};
\)
Ответ: \(\frac{9}{2}\).

10) \(y = -x^2 + 2x\), \(y = x^2\);
Точки пересечения:
\(
-x^2 + 2x = x^2; \quad 2x^2 — 2x = 0; \quad x(x — 1) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x — x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x — 2x^2) dx = x^2 — \frac{2x^3}{3} \Big|_{0}^{1}
\)
\(
= \left(1 — \frac{2}{3}\right) — \left(0 — 0\right) = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3};
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\).

11) \(y = x^3\), \(y = x^2\);
Точки пересечения:
\(
x^3 = x^2; \quad x^2(x — 1) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{1} (x^3 — x^2) dx = \int_{0}^{1} \left(\frac{x^4}{4} — \frac{x^3}{3}\right) dx = \frac{x^4}{4} — \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1}
\)
\(
= \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{3}\right) — \left(0 — 0\right) = \frac{3}{12} — \frac{4}{12} = -\frac{1}{12};
\)
Ответ: \(\frac{1}{12}\).

12) \(y = e^x\), \(y = e\), \(x = 0\);
Точки пересечения:
\(
e^x = e; \quad x = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{1} (e^x — e) dx = e^x — ex \Big|_{0}^{1} = (e^1 — e \cdot 1) — (e^0 — 0) = -1;
\)
Ответ: \(1\).

13) \(y = \frac{7}{x}\), \(x + y = 8\);
Точки пересечения:
\(
\frac{7}{x} = 8 — x; \quad 7 = 8x — x^2; \quad x^2 — 8x + 7 = 0;
\)
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36, \, \text{тогда:} \, x_1 = 1, \, x_2 = 7;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{7} \left(\frac{7}{x} — 8 + x\right) dx = 7 \ln|x| — 8x + \frac{x^2}{2} \Big|_{1}^{7}
\)
\(
= \left(7 \ln 7 — 56 + \frac{49}{2}\right) — \left(7 \ln 1 — 8 + \frac{1}{2}\right) = 7 \ln 7 — 48 + \frac{48}{2} = 7 \ln 7 — 24;
\)
Ответ: \(24 — 7 \ln 7\).

14) \(y = \frac{2}{x^2}\), \(y = 2x\), \(x = 2\);
Точки пересечения:
\(
\frac{2}{x^2} = 2x; \quad 2 = 2x^3; \quad x^3 = 1; \quad x = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{2} \left(\frac{2}{x^2} — 2x\right) dx = -\frac{2}{x} — \frac{x^2}{2} \Big|_{1}^{2}
\)
\(
= \left(-1 — 4\right) — \left(-2 — 1\right) = -5 + 3 = -2;
\)
Ответ: \(2\).

15) \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{4}\);
Точки пересечения:
\(
\sin x = \cos x; \quad \tan x = 1; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x — \cos x) dx = -\cos x — \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\)
\(
= \left(-\cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4}\right) — \left(-\cos 0 — \sin 0\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + 0 = 1 — \sqrt{2};
\)
Ответ: \(\sqrt{2} — 1\).

1) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = x^2\) и \(y = 4\).

Точки пересечения:
\(
x^2 — 4 = 0
\)
Решим это уравнение:
\(
(x + 2)(x — 2) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 2
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = 4\) (верхняя функция) и \(g(x) = x^2\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = -2\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} 4 \, dx — \int_{-2}^{2} x^2 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4x \Big|_{-2}^{2} = 4(2) — 4(-2) = 8 + 8 = 16
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-2}^{2} = \frac{(2)^3}{3} — \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} — \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}
\)

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:
\(
S = 16 — \frac{16}{3}
\)

Приведем к общему знаменателю:
\(
S = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
\)

Таким образом, ответ:
\(
S = \frac{32}{3}
\)

2) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = 2x^2\) и \(y = 2x\).

Точки пересечения:
\(
2x^2 = 2x
\)
Упростим уравнение:
\(
2(x^2 — x) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x(x — 1) = 0
\)
Отсюда следует, что:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = 2x^2\) (верхняя функция) и \(g(x) = 2x\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 1\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{1} (2x^2 — 2x) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{1} (2x^2 — 2x) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx — \int_{0}^{1} 2x \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3} \cdot 1^3 — \frac{2}{3} \cdot 0^3 = \frac{2}{3}
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int_{0}^{1} 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} = x^2 \Big|_{0}^{1} = 1^2 — 0^2 = 1
\)

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:
\(
S = \frac{2}{3} — 1
\)
Упрощаем:
\(
S = \frac{2}{3} — \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{3}
\)

3) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = e^x\) и \(y = 1\), а также вертикальной линией \(x = 2\).

Точки пересечения:
\(
e^x = 1
\)
Решим это уравнение:
\(
x = 0
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = e^x\) (верхняя функция) и \(g(x) = 1\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{2} (e^x — 1) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{2} (e^x — 1) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{0}^{2} e^x \, dx — \int_{0}^{2} 1 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int e^x \, dx = e^x + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{2} e^x \, dx = e^x \Big|_{0}^{2} = e^2 — e^0 = e^2 — 1
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int_{0}^{2} 1 \, dx = x \Big|_{0}^{2} = 2 — 0 = 2
\)

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:
\(
S = (e^2 — 1) — 2
\)
Таким образом, получаем:
\(
S = e^2 — 3
\)

Ответ:
\(
e^2 — 3
\)

4) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = \frac{4}{x}\) и \(y = 1\), а также вертикальной линией \(x = 1\).

Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x} = 1
\)
Решим это уравнение:
\(
x = 4
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \frac{4}{x}\) (верхняя функция) и \(g(x) = 1\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 4\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{4} \left(\frac{4}{x} — 1\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{4} \left(\frac{4}{x} — 1\right) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} \, dx — \int_{1}^{4} 1 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln |x| + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{1}^{4} \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln |x| \Big|_{1}^{4} = 4 \ln 4 — 4 \ln 1 = 4 \ln 4 — 0 = 4 \ln 4
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int_{1}^{4} 1 \, dx = x \Big|_{1}^{4} = 4 — 1 = 3
\)

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:
\(
S = 4 \ln 4 — 3
\)

Ответ:
\(
S = 4 \ln 4 — 3
\)

5) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = \frac{4}{x}\), \(y = 4\) и вертикальной линией \(x = 4\).

Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x} = 4
\)
Решим это уравнение:
\(
x = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \frac{4}{x}\) (верхняя функция) и \(g(x) = 4\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 4\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{4} \left(\frac{4}{x} — 4\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{4} \left(\frac{4}{x} — 4\right) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} \, dx — \int_{1}^{4} 4 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln |x| + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{1}^{4} \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln |x| \Big|_{1}^{4} = 4 \ln 4 — 4 \ln 1 = 4 \ln 4
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int_{1}^{4} 4 \, dx = 4x \Big|_{1}^{4} = 4(4) — 4(1) = 16 — 4 = 12
\)

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:
\(
S = (4 \ln 4) — 12
\)

Таким образом, площадь фигуры равна:
\(
S = 4 \ln 4 — 12
\)

Ответ:
\(
12 — 4 \ln 4
\)

6) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = x^2 — 4x + 5\) и \(y = 5\).

Точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 5 = 5
\)
Упростим уравнение:
\(
x^2 — 4x = 0
\)
Факторизуем:
\(
x(x — 4) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 4
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = x^2 — 4x + 5\) (верхняя функция) и \(g(x) = 5\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 4\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{4} (x^2 — 4x + 5 — 5) \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{0}^{4} (x^2 — 4x) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{4} (x^2 — 4x) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{0}^{4} x^2 \, dx — \int_{0}^{4} 4x \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{4} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3}
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int 4x \, dx = 2x^2 + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{4} 4x \, dx = 2x^2 \Big|_{0}^{4} = 2(4^2) — 2(0^2) = 32 — 0 = 32
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = \frac{64}{3} — 32
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
S = \frac{64}{3} — \frac{96}{3} = \frac{64 — 96}{3} = -\frac{32}{3}
\)

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
Ответ:
\(
S = \frac{32}{3}
\)

7) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = 2 + x — x^2\) и \(y = 2 — x\).

Точки пересечения:
\(
2 + x — x^2 = 2 — x
\)
Упростим уравнение:
\(
x — x^2 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 2x = 0
\)
Факторизуем:
\(
-x(x — 2) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = 2 + x — x^2\) (верхняя функция) и \(g(x) = 2 — x\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{2} \left((2 + x — x^2) — (2 — x)\right) \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{0}^{2} \left(2 + x — x^2 — 2 + x\right) \, dx = \int_{0}^{2} \left(2x — x^2\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{2} (2x — x^2) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{0}^{2} 2x \, dx — \int_{0}^{2} x^2 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int 2x \, dx = x^2 + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{2} 2x \, dx = x^2 \Big|_{0}^{2} = 4 — 0 = 4
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3} — 0 = \frac{8}{3}
\)

Теперь подставим значения в формулу для площади:
\(
S = 4 — \frac{8}{3}
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
S = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
\)

Ответ:
\(
S = \frac{4}{3}
\)

8) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = x^2 + 2\) и \(y = x + 4\).

Точки пересечения:
\(
x^2 + 2 = x + 4
\)
Упростим уравнение:
\(
x^2 — x — 2 = 0
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = x^2 + 2\) (верхняя функция) и \(g(x) = x + 4\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = -1\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{-1}^{2} \left((x^2 + 2) — (x + 4)\right) \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2 — x — 4) \, dx = \int_{-1}^{2} (x^2 — x — 2) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{-1}^{2} (x^2 — x — 2) \, dx
\)
Разделим интеграл на три части:
\(
S = \int_{-1}^{2} x^2 \, dx — \int_{-1}^{2} x \, dx — \int_{-1}^{2} 2 \, dx
\)

Вычислим каждый из интегралов по отдельности.

Первый интеграл:
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}
\)
Следовательно,
\(
\int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-1}^{2} = \frac{8}{3} — \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3
\)

Второй интеграл:
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Следовательно,
\(
\int_{-1}^{2} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{-1}^{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\)

Третий интеграл:
\(
\int 2 \, dx = 2x
\)
Следовательно,
\(
\int_{-1}^{2} 2 \, dx = 2x \Big|_{-1}^{2} = 4 — (-2) = 4 + 2 = 6
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = 3 — \frac{3}{2} — 6
\)
Упрощаем:
\(
S = 3 — 6 — \frac{3}{2} = -3 — \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} — \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}
\)

Ответ:
\(
\frac{9}{2}
\)

9) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = x^2 + 2x + 1\) и \(y = x + 3\).

Точки пересечения:
\(
x^2 + 2x + 1 = x + 3
\)
Упростим уравнение:
\(
x^2 + 2x + 1 — x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x — 2 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = x^2 + 2x + 1\) (верхняя функция) и \(g(x) = x + 3\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = -2\) и \(b = 1\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{-2}^{1} \left((x^2 + 2x + 1) — (x + 3)\right) \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 1 — x — 3) \, dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + x — 2) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{1} (x^2 + x — 2) \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
= \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} — 2x\right) \Big|_{-2}^{1}
\)

Теперь подставим пределы интегрирования:
\(
= \left(\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} — 2(1)\right) — \left(\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} — 2(-2)\right)
\)
Вычислим каждую часть:
\(
= \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2\right) — \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right)
\)

Упрощаем:
\(
= \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2\right) — \left(-\frac{8}{3} + 6\right)
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
= \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{6} — \frac{12}{6}\right) — \left(-\frac{8}{3} + \frac{18}{3}\right)
\)
Теперь подытожим:
\(
= \left(\frac{1}{3} — \frac{9}{6}\right) — \left(-\frac{8}{3} + \frac{18}{3}\right)
= -\frac{9}{6} + \frac{8}{3}
= -\frac{9}{6} + \frac{16}{6}
= \frac{7}{6}
\)

Таким образом, площадь фигуры равна:
\(
S = -\frac{9}{2}
\)

10) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = -x^2 + 2x\) и \(y = x^2\).

Точки пересечения:
\(
-x^2 + 2x = x^2
\)
Упростим уравнение:
\(
-x^2 — x^2 + 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 + 2x = 0
\)
Факторизуем:
\(
2x(x — 1) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = -x^2 + 2x\) (верхняя функция) и \(g(x) = x^2\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 1\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{1} \left((-x^2 + 2x) — x^2\right) \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{0}^{1} (-2x^2 + 2x) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{1} (2x — 2x^2) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{0}^{1} 2x \, dx — \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int 2x \, dx = x^2 + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{1} 2x \, dx = x^2 \Big|_{0}^{1} = 1^2 — 0^2 = 1
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 + C
\)
Следовательно,
\(
\int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^3 — 0^3) = \frac{2}{3}
\)

Теперь подставим результаты в выражение для площади:
\(
S = 1 — \frac{2}{3}
\)
Таким образом, получаем:
\(
S = \frac{3}{3} — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\)

Ответ:
\(
S = \frac{1}{3}
\)

11) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = x^3\) и \(y = x^2\).

Точки пересечения:
\(
x^3 = x^2
\)
Упростим уравнение:
\(
x^2(x — 1) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = x^2\) (верхняя функция) и \(g(x) = x^3\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 1\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{1} (x^2 — x^3) \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{0}^{1} \left(x^2 — x^3\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{1} x^2 \, dx — \int_{0}^{1} x^3 \, dx
\)
Вычислим каждый из интегралов отдельно:
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \quad \text{и} \quad \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
\)

Теперь подставим пределы интегрирования:
\(
S = \left(\frac{x^3}{3}\right)_{0}^{1} — \left(\frac{x^4}{4}\right)_{0}^{1}
\)
Вычисляем:
\(
S = \left(\frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3}\right) — \left(\frac{1^4}{4} — \frac{0^4}{4}\right)
\)
Это дает:
\(
S = \left(\frac{1}{3} — 0\right) — \left(\frac{1}{4} — 0\right)
\)
Теперь упрощаем:
\(
S = \frac{1}{3} — \frac{1}{4}
\)

Для нахождения разности приведем дроби к общему знаменателю:
\(
S = \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{1}{12}
\)

Таким образом, площадь фигуры равна:
\(
S = \frac{1}{12}
\)

Ответ: \(\frac{1}{12}\).

12) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = e^x\), \(y = e\) и вертикальной линией \(x = 0\).

Точки пересечения:
\(
e^x = e
\)
Упрощаем уравнение:
\(
x = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = e^x\) (верхняя функция) и \(g(x) = e\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 1\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{1} (e^x — e) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{1} e^x \, dx — \int_{0}^{1} e \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int e^x \, dx = e^x
\)
Следовательно:
\(
\int_{0}^{1} e^x \, dx = e^x \Big|_{0}^{1} = e^1 — e^0 = e — 1
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int e \, dx = e \cdot x
\)
Следовательно:
\(
\int_{0}^{1} e \, dx = e \cdot x \Big|_{0}^{1} = e \cdot 1 — e \cdot 0 = e
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = (e — 1) — e
\)
Упрощаем:
\(
S = e — 1 — e = -1
\)

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
Ответ: \(1\).

13) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = \frac{7}{x}\) и \(x + y = 8\).

Точки пересечения:
\(
\frac{7}{x} = 8 — x
\)
Умножим обе стороны на \(x\) (при \(x \neq 0\)):
\(
7 = 8x — x^2
\)
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\(
x^2 — 8x + 7 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36
\)
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:
\(
x_1 = \frac{8 — \sqrt{D}}{2} = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{D}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \frac{7}{x}\) (верхняя функция) и \(g(x) = 8 — x\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 7\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{7} \left(\frac{7}{x} — (8 — x)\right) dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
S = \int_{1}^{7} \left(\frac{7}{x} — 8 + x\right) dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{7} \frac{7}{x} \, dx — \int_{1}^{7} 8 \, dx + \int_{1}^{7} x \, dx
\)

Вычислим каждый из интегралов отдельно. Первый интеграл:
\(
\int \frac{7}{x} \, dx = 7 \ln |x|
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{7} \frac{7}{x} \, dx = 7 \ln |x| \Big|_{1}^{7} = 7 \ln 7 — 7 \ln 1 = 7 \ln 7
\)

Второй интеграл:
\(
\int 8 \, dx = 8x
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{7} 8 \, dx = 8x \Big|_{1}^{7} = 8(7) — 8(1) = 56 — 8 = 48
\)

Третий интеграл:
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{7} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{1}^{7} = \frac{49}{2} — \frac{1}{2} = \frac{48}{2} = 24
\)

Теперь подставим все результаты в формулу для площади:
\(
S = (7 \ln 7) — 48 + 24
\)
Упрощаем:
\(
S = 7 \ln 7 — 24
\)

Ответ:
\(
24 — 7 \ln 7
\)

14) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = \frac{2}{x^2}\), \(y = 2x\) и вертикальной линией \(x = 2\).

Точки пересечения:
\(
\frac{2}{x^2} = 2x
\)
Умножим обе стороны на \(x^2\) (при \(x \neq 0\)):
\(
2 = 2x^3
\)
Разделим обе стороны на 2:
\(
1 = x^3
\)
Таким образом, получаем:
\(
x = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \frac{2}{x^2}\) (верхняя функция) и \(g(x) = 2x\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{2} \left(\frac{2}{x^2} — 2x\right) dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{2} \frac{2}{x^2} \, dx — \int_{1}^{2} 2x \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int \frac{2}{x^2} \, dx = -\frac{2}{x}
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{2} \frac{2}{x^2} \, dx = -\frac{2}{x} \Big|_{1}^{2} = -\frac{2}{2} — \left(-\frac{2}{1}\right) = -1 + 2 = 1
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int 2x \, dx = x^2
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{2} 2x \, dx = x^2 \Big|_{1}^{2} = 2^2 — 1^2 = 4 — 1 = 3
\)

Теперь подставим результаты интегралов в формулу для площади:
\(
S = 1 — 3 = -2
\)

Поскольку площадь не может быть отрицательной, то ответ будет:
\(
|S| = 2
\)

Ответ: \(2\).

15) Рассмотрим фигуру, ограниченную кривыми \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = \frac{\pi}{4}\).

Точки пересечения:
\(
\sin x = \cos x
\)
Разделим обе стороны на \(\cos x\) (при \(\cos x \neq 0\)):
\(
\tan x = 1
\)
Таким образом, получаем:
\(
x = \frac{\pi}{4} + \pi n
\)
Для нашего случая нас интересует только \(n = 0\), что дает \(x = \frac{\pi}{4}\).

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \sin x\) (верхняя функция) и \(g(x) = \cos x\) (нижняя функция). В нашем случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = \frac{\pi}{4}\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x — \cos x) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx — \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int \sin x \, dx = -\cos x
\)
Следовательно:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = -\cos x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos \frac{\pi}{4} + \cos 0
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int \cos x \, dx = \sin x
\)
Следовательно:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} — \sin 0
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = \left(-\cos \frac{\pi}{4} + 1\right) — \left(\sin \frac{\pi}{4} — 0\right)
\)
Подставляем значения:
\(
S = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 — \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
Упрощаем:
\(
S = 1 — \sqrt{2}
\)

Ответ:
\(
S = \sqrt{2} — 1
\)