ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции \(y = x^3\) и прямыми \(y = 8\), \(x = 1\);

2) параболой \(y = 0.5x^2\) и прямой \(y = -x\);

3) параболой \(y = 4 — x^2\) и прямой \(y = 3\);

4) параболой \(y = 6 + x — x^2\) и прямой \(y = 6 — 2x\);

5) параболами \(y = x^2 — 4x + 4\) и \(y = 4 — x^2\);

6) гиперболой \(y = \frac{3}{x}\) и прямыми \(y = 3\), \(x = 3\);

7) графиком функции \(y = e^{-x}\) и прямыми \(y = e\), \(x = 0\);

8) гиперболой \(y = \frac{5}{x}\) и прямой \(x + y = 6\).

1) \(y = x^3\), \(y = 8\), \(x = 1\);
Точки пересечения:
\(
x^3 = 8; \quad x = 2;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{2} (x^3 — 8) dx = \frac{x^4}{4} — 8x \Big|_{1}^{2}
\)
\(
S = \left(\frac{16}{4} — 16\right) — \left(\frac{1}{4} — 8\right) = \frac{15}{4} — 8 = \frac{17}{4};
\)
Ответ: \(\frac{17}{4}\).

2) \(y = 0.5x^2\), \(y = -x\);
Точки пересечения:
\(
0.5x^2 = -x; \quad x^2 + 2x = 0; \quad x(x + 2) = 0; \quad x_1 = -2, \, x_2 = 0;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^{0} \left(0.5x^2 + x\right) dx = \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} \Big|_{-2}^{0}
\)
\(
S = \left(0 — 0\right) — \left(-\frac{8}{6} + \frac{4}{2}\right) = -\left(-\frac{4}{3} + 2\right) = \frac{2}{3};
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

3) \(y = 4 — x^2\), \(y = 3\);
Точки пересечения:
\(
4 — x^2 = 3; \quad x^2 — 1 = 0; \quad (x + 1)(x — 1) = 0; \quad x_1 = -1, \, x_2 = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-1}^{1} (4 — x^2 — 3) dx = x — \frac{x^3}{3} \Big|_{-1}^{1}
\)
\(
S = \left(1 — \frac{1}{3}\right) — \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = 2 — \frac{2}{3} = \frac{4}{3};
\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\).

4) \(y = 6 + x — x^2\), \(y = 6 — 2x\);
Точки пересечения:
\(
6 + x — x^2 = 6 — 2x; \quad x^2 — 3x = 0; \quad x(x — 3) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 3;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{3} \left(6 + x — x^2 — (6 — 2x)\right) dx = \int_{0}^{3} (3x — x^2) dx = \frac{3x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{3}
\)
\(
S = \left(\frac{27}{2} — \frac{27}{3}\right) — \left(0 — 0\right) = 13.5 — 9 = 4.5;
\)
Ответ: \(4.5\).

5) \(y = x^2 — 4x + 4\), \(y = 4 — x^2\);
Точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 4 = 4 — x^2; \quad 2x^2 — 4x = 0; \quad 2x(x — 2) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 2;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{2} \left(x^2 — 4x + 4 — 4 + x^2\right) dx = \int_{0}^{2} \left(2x^2 — 4x\right) dx = \frac{2x^3}{3} — 2x^2 \Big|_{0}^{2}
\)
\(
S = \left(\frac{16}{3} — 8\right) — \left(0 — 0\right) = \frac{16}{3} — 8 = -\frac{8}{3};
\)
Ответ: \(\frac{8}{3}\).

6) \(y = \frac{3}{x}\), \(y = 3\), \(x = 3\);
Точки пересечения:
\(
\frac{3}{x} = 3; \quad x = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{3} \left(\frac{3}{x} — 3\right) dx = 3\ln|x| — 3x \Big|_{1}^{3}
\)
\(
S = \left(3\ln3 — 9\right) — \left(3\ln1 — 3\right) = 3\ln3 — 6;
\)
Ответ: \(6 — 3\ln3\).

7) \(y = e^{-x}\), \(y = e\), \(x = 0\);
Точки пересечения:
\(
e^{-x} = e; \quad -x = 1; \quad x = -1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-1}^{0} \left(e^{-x} — e\right) dx = -e^{-x} — ex \Big|_{-1}^{0}
\)
\(
S = \left(-e^0 — 0\right) — \left(-e^1 + e\right) = -1;
\)
Ответ: \(1\).

8) \(y = \frac{5}{x}\), \(x + y = 6\);
Точки пересечения:
\(
\frac{5}{x} = 6 — x; \quad 5 = 6x — x^2; \quad x^2 — 6x + 5 = 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \, \text{тогда:} \, x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \, \text{и} \, x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{5} \left(\frac{5}{x} — 6 + x\right) dx = 5\ln|x| — 6x + \frac{x^2}{2} \Big|_{1}^{5}
\)
\(
S = \left(5\ln5 — 30 + \frac{25}{2}\right) — \left(5\ln1 — 6 + \frac{4}{2}\right)
\)
\(
S = 5\ln5 — 24 + 12 = 5\ln5 — 12;
\)
Ответ: \(12 — 5\ln5\).

1) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции \(y = x^3\), прямой \(y = 8\) и вертикальной линией \(x = 1\).

Точки пересечения:
\(
x^3 = 8
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = 2
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = x^3\) (верхняя функция) и \(g(x) = 8\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{2} (x^3 — 8) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{2} x^3 \, dx — \int_{1}^{2} 8 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{2} x^3 \, dx = \left(\frac{x^4}{4}\right)_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} — \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4}
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int 8 \, dx = 8x
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{2} 8 \, dx = (8x)_{1}^{2} = 8(2) — 8(1) = 16 — 8 = 8
\)

Теперь подставим результаты интегралов в формулу для площади:
\(
S = \frac{15}{4} — 8
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
S = \frac{15}{4} — \frac{32}{4} = \frac{15 — 32}{4} = \frac{-17}{4}
\)

Однако, поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
\(
S = \frac{17}{4}
\)

Ответ:
\(
\frac{17}{4}
\)

2) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции \(y = 0.5x^2\) и прямой \(y = -x\).

Точки пересечения:
\(
0.5x^2 = -x
\)
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
\(
x^2 + 2x = 0
\)
Факторизуем уравнение:
\(
x(x + 2) = 0
\)
Таким образом, получаем два корня:
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 0
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = 0.5x^2\) (верхняя функция) и \(g(x) = -x\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = -2\) и \(b = 0\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{-2}^{0} \left(0.5x^2 + x\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{0} 0.5x^2 \, dx + \int_{-2}^{0} x \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int 0.5x^2 \, dx = \frac{0.5x^3}{3} = \frac{x^3}{6}
\)
Следовательно:
\(
\int_{-2}^{0} 0.5x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{6}\right)_{-2}^{0} = \frac{0^3}{6} — \frac{(-2)^3}{6} = 0 — \left(-\frac{8}{6}\right) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Следовательно:
\(
\int_{-2}^{0} x \, dx = \left(\frac{x^2}{2}\right)_{-2}^{0} = \frac{0^2}{2} — \frac{(-2)^2}{2} = 0 — 2 = -2
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = \frac{4}{3} — 2
\)
Преобразуем:
\(
S = \frac{4}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}
\)

Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
\(
S = \frac{2}{3}
\)

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

3) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции \(y = 4 — x^2\) и прямой \(y = 3\).

Точки пересечения:
\(
4 — x^2 = 3
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x^2 — 1 = 0
\)
Факторизуем уравнение:
\(
(x + 1)(x — 1) = 0
\)
Таким образом, получаем два корня:
\(
x_1 = -1, \quad x_2 = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = 4 — x^2\) (верхняя функция) и \(g(x) = 3\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = -1\) и \(b = 1\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{-1}^{1} (4 — x^2 — 3) \, dx
\)

Упрощаем выражение под интегралом:
\(
S = \int_{-1}^{1} (1 — x^2) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{-1}^{1} 1 \, dx — \int_{-1}^{1} x^2 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int 1 \, dx = x
\)
Следовательно:
\(
\int_{-1}^{1} 1 \, dx = (x)_{-1}^{1} = 1 — (-1) = 2
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}
\)
Следовательно:
\(
\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} — \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} — \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = 2 — \frac{2}{3}
\)
Упрощаем:
\(
S = \frac{6}{3} — \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\)

Ответ:
\(
S = \frac{4}{3}
\)

4) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиками функций \(y = 6 + x — x^2\) и \(y = 6 — 2x\).

Точки пересечения:
\(
6 + x — x^2 = 6 — 2x
\)
Упрощаем уравнение:
\(
x — x^2 + 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 3x = 0
\)
Факторизуем уравнение:
\(
x(x — 3) = 0
\)
Таким образом, получаем два корня:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = 6 + x — x^2\) (верхняя функция) и \(g(x) = 6 — 2x\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 3\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{3} \left((6 + x — x^2) — (6 — 2x)\right) \, dx
\)

Упрощаем выражение под интегралом:
\(
S = \int_{0}^{3} \left(6 + x — x^2 — 6 + 2x\right) \, dx = \int_{0}^{3} (3x — x^2) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{3} (3x — x^2) \, dx
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{0}^{3} 3x \, dx — \int_{0}^{3} x^2 \, dx
\)

Вычислим первый интеграл:
\(
\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}
\)
Следовательно:
\(
\int_{0}^{3} 3x \, dx = ( \frac{3x^2}{2} )_{0}^{3} = \frac{3(3^2)}{2} — \frac{3(0^2)}{2} = \frac{27}{2}
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}
\)
Следовательно:
\(
\int_{0}^{3} x^2 \, dx = ( \frac{x^3}{3} )_{0}^{3} = \frac{(3^3)}{3} — \frac{(0^3)}{3} = 9
\)

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:
\(
S = \frac{27}{2} — 9
\)
Приведем \(9\) к общему знаменателю:
\(
9 = \frac{18}{2}
\)
Следовательно:
\(
S = \frac{27}{2} — \frac{18}{2} = \frac{9}{2}
\)

Итак, площадь фигуры равна:
\(
S = 4.5
\)

Ответ: \(4.5\).

5) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиками функций \(y = x^2 — 4x + 4\) и \(y = 4 — x^2\).

Точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 4 = 4 — x^2
\)
Упрощаем уравнение:
\(
x^2 — 4x + 4 + x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 — 4x = 0
\)
Факторизуем уравнение:
\(
2x(x — 2) = 0
\)
Таким образом, получаем два корня:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = x^2 — 4x + 4\) (верхняя функция) и \(g(x) = 4 — x^2\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 2\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{0}^{2} \left((x^2 — 4x + 4) — (4 — x^2)\right) \, dx
\)

Упрощаем выражение под интегралом:
\(
S = \int_{0}^{2} \left(x^2 — 4x + 4 — 4 + x^2\right) \, dx = \int_{0}^{2} \left(2x^2 — 4x\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{0}^{2} (2x^2 — 4x) \, dx
\)
Вычисляем интеграл:
\(
S = \left(\frac{2x^3}{3} — 2x^2\right) \Big|_{0}^{2}
\)

Подставляем пределы интегрирования:
\(
S = \left(\frac{2(2)^3}{3} — 2(2)^2\right) — \left(\frac{2(0)^3}{3} — 2(0)^2\right)
\)
Упрощаем:
\(
S = \left(\frac{16}{3} — 8\right) — (0)
\)
Таким образом, получаем:
\(
S = \frac{16}{3} — 8
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
S = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}
\)

Поскольку площадь не может быть отрицательной, берем модуль:
Ответ:
\(
S = \frac{8}{3}
\)

6) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиками функций \(y = \frac{3}{x}\), \(y = 3\) и вертикальной линией \(x = 3\).

Точки пересечения:
\(
\frac{3}{x} = 3
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = 1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \frac{3}{x}\) (верхняя функция) и \(g(x) = 3\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 3\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{3} \left(\frac{3}{x} — 3\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{3} \frac{3}{x} \, dx — \int_{1}^{3} 3 \, dx
\)

Вычисляем первый интеграл:
\(
\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x|
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{3} \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x| \Big|_{1}^{3} = 3 \ln 3 — 3 \ln 1 = 3 \ln 3
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int 3 \, dx = 3x
\)
Таким образом:
\(
\int_{1}^{3} 3 \, dx = 3x \Big|_{1}^{3} = 9 — 3 = 6
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = (3 \ln 3 — 6)
\)

Таким образом, окончательный ответ:
\(
S = 6 — 3 \ln 3
\)

7) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиками функций \(y = e^{-x}\), \(y = e\) и вертикальной линией \(x = 0\).

Точки пересечения:
\(
e^{-x} = e
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
-x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = e^{-x}\) (верхняя функция) и \(g(x) = e\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = -1\) и \(b = 0\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{-1}^{0} \left(e^{-x} — e\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{-1}^{0} e^{-x} \, dx — \int_{-1}^{0} e \, dx
\)

Вычисляем первый интеграл:
\(
\int e^{-x} \, dx = -e^{-x}
\)
Следовательно:
\(
\int_{-1}^{0} e^{-x} \, dx = -e^{-x} \Big|_{-1}^{0} = -e^{0} — (-e^{1}) = -1 + e
\)

Теперь вычислим второй интеграл:
\(
\int e \, dx = ex
\)
Следовательно:
\(
\int_{-1}^{0} e \, dx = ex \Big|_{-1}^{0} = e(0) — e(-1) = 0 + e = e
\)

Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\(
S = \left(-1 + e\right) — e = -1
\)

Таким образом, окончательный ответ будет:
\(
S = 1
\)

8) Рассмотрим фигуру, ограниченную графиками функций \(y = \frac{5}{x}\) и \(x + y = 6\).

Точки пересечения:
\(
\frac{5}{x} = 6 — x
\)
Умножаем обе стороны на \(x\) (при \(x > 0\)):
\(
5 = 6x — x^2
\)
Переписываем уравнение:
\(
x^2 — 6x + 5 = 0
\)

Теперь находим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16
\)
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5
\)

Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{a}^{b} (f(x) — g(x)) \, dx
\)
где \(f(x) = \frac{5}{x}\) (верхняя функция) и \(g(x) = 6 — x\) (нижняя функция). В данном случае пределы интегрирования \(a = 1\) и \(b = 5\).

Следовательно, площадь фигуры будет равна:
\(
S = \int_{1}^{5} \left(\frac{5}{x} — (6 — x)\right) \, dx
\)
Упрощаем выражение под интегралом:
\(
S = \int_{1}^{5} \left(\frac{5}{x} — 6 + x\right) \, dx
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
S = \int_{1}^{5} \frac{5}{x} \, dx — \int_{1}^{5} 6 \, dx + \int_{1}^{5} x \, dx
\)

Вычисляем каждый из этих интегралов по отдельности.

Первый интеграл:
\(
\int \frac{5}{x} \, dx = 5 \ln |x|
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{5} \frac{5}{x} \, dx = 5 \ln |x| \Big|_{1}^{5} = 5 \ln 5 — 5 \ln 1 = 5 \ln 5
\)

Второй интеграл:
\(
\int 6 \, dx = 6x
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{5} 6 \, dx = 6x \Big|_{1}^{5} = 30 — 6 = 24
\)

Третий интеграл:
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Следовательно:
\(
\int_{1}^{5} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{1}^{5} = \frac{25}{2} — \frac{1}{2} = \frac{24}{2} = 12
\)

Теперь подставим найденные значения в формулу для площади:
\(
S = (5 \ln 5) — (24) + (12)
\)
Упрощаем:
\(
S = 5 \ln 5 — 24 + 12 = 5 \ln 5 — 12
\)

Ответ:
\(
12 — 5 \ln 5
\)