ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каком положительном значении } a \text{ определённый интеграл } \int_{0}^{a} (6 — 2x) \, dx
\)
\(
\text{ принимает наибольшее значение?}
\)

Дан определенный интеграл:
\(
f(a) = \int_{0}^{a} \left(6 — 2x\right) dx = 6x — x^2 \Big|_{0}^{a};
\)
\(
f(a) = \left(6a — a^2\right) — \left(6 \cdot 0 — 0^2\right); \quad f(a) = 6a — a^2;
\)

Наибольшее значение:
\(
f'(a) = 6 — 2a \geq 0; \quad 2a \leq 6; \quad a \leq 3;
\)

Ответ: \(3\).

Дан определенный интеграл:
\(
f(a) = \int_{0}^{a} \left(6 — 2x\right) dx
\)
Вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную функции \(6 — 2x\):
\(
F(x) = 6x — x^2
\)
Теперь подставим пределы интегрирования в формулу:
\(
f(a) = F(a) — F(0) = \left(6a — a^2\right) — \left(6 \cdot 0 — 0^2\right)
\)
Упрощаем выражение:
\(
f(a) = 6a — a^2
\)

Теперь найдем наибольшее значение функции \(f(a)\). Для этого вычислим производную функции:
\(
f'(a) = \frac{d}{da}(6a — a^2) = 6 — 2a
\)
Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
\(
6 — 2a = 0
\)
Решаем это уравнение:
\(
2a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 3
\)

Теперь определим, при каких значениях \(a\) функция \(f(a)\) возрастает или убывает. Для этого рассмотрим знак производной:
\(
f'(a) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 6 — 2a \geq 0
\)
Решаем неравенство:
\(
2a \leq 6 \quad \Rightarrow \quad a \leq 3
\)

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(a)\) достигается при \(a = 3\).

Ответ: \(3\).