ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите такие значения } a, \text{ при которых площадь фигуры, ограниченной линиями }
\)
\(
y = x^2, \, y = 0 \text{ и } x = a, \text{ равна } 9.
\)

Фигура ограничена линиями: \(y = x^2\), \(y = 0\), \(x = a\);

1) Если \(a > 0\), тогда:
\(
S = \int_{0}^{a} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{a} = \frac{a^3}{3} = 9;
\)
\(
a^3 = 27, \quad a = \sqrt[3]{27} = 3;
\)

2) Если \(a < 0\), тогда:
\(
S = \int_{a}^{0} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{a}^{0} = -\frac{a^3}{3} = 9;
\)
\(
a^3 = -27, \quad a = \sqrt[3]{-27} = -3;
\)

Ответ: \(-3; \, 3\).

Фигура ограничена линиями: \(y = x^2\), \(y = 0\), \(x = a\);

1) Если \(a > 0\), тогда:
Сначала вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^2\) и осью \(y\) от \(x = 0\) до \(x = a\):
\(
S = \int_{0}^{a} x^2 \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
S = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{a} = \frac{a^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{a^3}{3}
\)
Устанавливаем равенство для площади:
\(
\frac{a^3}{3} = 9
\)
Умножим обе стороны на 3:
\(
a^3 = 27
\)
Теперь извлекаем корень:
\(
a = \sqrt[3]{27} = 3
\)

2) Если \(a < 0\), тогда:
В этом случае площадь будет вычисляться от \(x = a\) до \(x = 0\):
\(
S = \int_{a}^{0} x^2 \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
S = \frac{x^3}{3} \Big|_{a}^{0} = \frac{0^3}{3} — \frac{a^3}{3} = 0 — \frac{a^3}{3} = -\frac{a^3}{3}
\)
Устанавливаем равенство для площади:
\(
-\frac{a^3}{3} = 9
\)
Умножим обе стороны на -1:
\(
\frac{a^3}{3} = -9
\)
Умножим обе стороны на 3:
\(
a^3 = -27
\)
Теперь извлекаем корень:
\(
a = \sqrt[3]{-27} = -3
\)

Ответ: \(-3; \, 3\).