ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти значения \( a \), при которых площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 2x^3 \), \( y = 0 \) и \( x = a \), равна 8

Фигура ограничена линиями: \(y = 2x^3\), \(y = 0\), \(x = a\);

1) Если \(a > 0\), тогда:
\(
S = \int_{0}^{a} 2x^3 \, dx = \frac{x^4}{2} \Big|_{0}^{a} = \frac{a^4}{2} = 8;
\)
\(
a^4 = 16, \quad a = \sqrt[4]{16} = 2;
\)

2) Если \(a < 0\), тогда:
\(
S = \int_{a}^{0} 2x^3 \, dx = \frac{x^4}{2} \Big|_{a}^{0} = -\frac{a^4}{2} = -8;
\)
\(
a^4 = 16, \quad a = -\sqrt[4]{16} = -2;
\)

Ответ: \(-2; \, 2\).

Фигура ограничена линиями: \(y = 2x^3\), \(y = 0\), \(x = a\);

1) Если \(a > 0\), тогда:
Сначала вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = 2x^3\) и осью \(y\) от \(x = 0\) до \(x = a\):
\(
S = \int_{0}^{a} 2x^3 \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
S = \frac{x^4}{2} \Big|_{0}^{a} = \frac{a^4}{2} — \frac{0^4}{2} = \frac{a^4}{2}
\)
Устанавливаем равенство для площади:
\(
\frac{a^4}{2} = 8
\)
Умножим обе стороны на 2:
\(
a^4 = 16
\)
Теперь извлекаем корень:
\(
a = \sqrt[4]{16} = 2
\)

2) Если \(a < 0\), тогда:
В этом случае площадь будет вычисляться от \(x = a\) до \(x = 0\):
\(
S = \int_{a}^{0} 2x^3 \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
S = \frac{x^4}{2} \Big|_{a}^{0} = \frac{0^4}{2} — \frac{a^4}{2} = 0 — \frac{a^4}{2} = -\frac{a^4}{2}
\)
Устанавливаем равенство для площади:
\(
-\frac{a^4}{2} = -8
\)
Умножим обе стороны на -1:
\(
\frac{a^4}{2} = 8
\)
Умножим обе стороны на 2:
\(
a^4 = 16
\)
Теперь извлекаем корень:
\(
a = -\sqrt[4]{16} = -2
\)

Ответ: \(-2; \, 2\).