ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найти значение } a, \text{ при котором прямая } x = a \text{ разбивает фигуру, ограниченную  }
\)
\(
\text{графиком функции } y = \frac{2}{x} \text{ и прямыми } y = 0, \, x = 3, \, x = 12,
\)
\(
\text{ на две равновеликие фигуры.}
\)

Фигура ограничена линиями: \(y = \frac{2}{x}\), \(y = 0\), \(x = 3\), \(x = 12\);

1) Площадь фигуры:
\(
S = \int_{3}^{12} \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln|x| \Big|_{3}^{12};
\)
\(
S = 2 \ln 12 — 2 \ln 3 = 2 \ln 4;
\)

2) Половина площади:
\(
S = \int_{3}^{a} \frac{2}{x} \, dx = \ln 4;
\)
\(
2 \ln|x| \Big|_{3}^{a} = \ln 4;
\)
\(
2 \ln a — 2 \ln 3 = \ln 4;
\)
\(
\ln a^2 = \ln 9 + \ln 4;
\)
\(
\ln a^2 = \ln 36;
\)
\(
a^2 = 36, \quad a = 6;
\)

Ответ: \(6\).

Фигура ограничена линиями: \(y = \frac{2}{x}\), \(y = 0\), \(x = 3\), \(x = 12\);

1) Площадь фигуры:
Сначала вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \frac{2}{x}\) и осью \(y\) от \(x = 3\) до \(x = 12\):
\(
S = \int_{3}^{12} \frac{2}{x} \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
S = 2 \ln|x| \Big|_{3}^{12}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = 2 \ln 12 — 2 \ln 3
\)
Используем свойства логарифмов для упрощения:
\(
S = 2 (\ln 12 — \ln 3) = 2 \ln \left(\frac{12}{3}\right) = 2 \ln 4
\)

2) Половина площади:
Теперь найдем значение \(a\), при котором площадь от \(x = 3\) до \(x = a\) равна половине площади всей фигуры:
\(
S = \int_{3}^{a} \frac{2}{x} \, dx
\)
Устанавливаем равенство для половины площади:
\(
S = \ln 4
\)
Вычисляем интеграл:
\(
2 \ln|x| \Big|_{3}^{a} = \ln 4
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
2 \ln a — 2 \ln 3 = \ln 4
\)
Используем свойства логарифмов:
\(
2 (\ln a — \ln 3) = \ln 4
\)
Разделим обе стороны на 2:
\(
\ln a — \ln 3 = \frac{1}{2} \ln 4
\)
Перепишем правую часть:
\(
\frac{1}{2} \ln 4 = \ln 4^{1/2} = \ln 2
\)
Теперь у нас есть:
\(
\ln a — \ln 3 = \ln 2
\)
Используем свойства логарифмов:
\(
\ln \left(\frac{a}{3}\right) = \ln 2
\)
Теперь мы можем убрать логарифм, возведя обе стороны в степень:
\(
\frac{a}{3} = 2
\)
Умножим обе стороны на 3:
\(
a = 6
\)

Ответ: \(6\).