ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти значение \( a \), при котором прямая \( x = a \) разбивает фигуру, ограниченную графиком функции \( y = -x^3 \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = -2 \), на две равновеликие фигуры.

Фигура ограничена линиями: \(y = -x^3\), \(y = 0\), \(x = -2\);

1) Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^{0} -x^3 \, dx = -\frac{x^4}{4} \Big|_{-2}^{0};
\)
\(
S = -\left(-\frac{(-2)^4}{4}\right) = \frac{16}{4} = 4;
\)

2) Половина площади:
\(
S = \int_{a}^{0} -x^3 \, dx = 2;
\)
\(
-\frac{x^4}{4} \Big|_{a}^{0} = 2;
\)
\(
-\left(-\frac{a^4}{4}\right) = 2;
\)
\(
\frac{a^4}{4} = 2 \cdot 4 = 8;
\)
\(
a^4 = 8, \quad a = -\sqrt[4]{8};
\)

Ответ: \(-\sqrt[4]{8}\).

Фигура ограничена линиями: \(y = -x^3\), \(y = 0\), \(x = -2\);

1) Площадь фигуры:
Сначала вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = -x^3\) и осью \(y\) от \(x = -2\) до \(x = 0\):
\(
S = \int_{-2}^{0} -x^3 \, dx
\)
Вычислим интеграл:
\(
S = -\frac{x^4}{4} \Big|_{-2}^{0}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = -\left(-\frac{0^4}{4} + \frac{(-2)^4}{4}\right)
\)
Упрощаем выражение:
\(
S = -\left(0 — \frac{16}{4}\right) = -\left(-4\right) = 4
\)

2) Половина площади:
Теперь найдем значение \(a\), при котором площадь от \(x = a\) до \(x = 0\) равна половине площади всей фигуры:
\(
S = \int_{a}^{0} -x^3 \, dx
\)
Устанавливаем равенство для половины площади:
\(
S = 2
\)
Вычисляем интеграл:
\(
-\frac{x^4}{4} \Big|_{a}^{0} = 2
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\left(-\frac{0^4}{4} + \frac{a^4}{4}\right) = 2
\)
Упрощаем:
\(
-\left(0 — \frac{a^4}{4}\right) = 2
\)
Это дает нам:
\(
\frac{a^4}{4} = 2
\)
Умножим обе стороны на 4:
\(
a^4 = 8
\)
Теперь извлекаем корень:
\(
a = -\sqrt[4]{8}
\)

Ответ: \(-\sqrt[4]{8}\).