ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях а выполняется неравенство:

1)
\(
\int_{0}^{a} (4 — 2x) \, dx < 3, \quad \text{где } a > 0.
\)

2)
\(
\int_{\log_{0.2} 6}^{a} 0.2^x \, dx > \frac{19}{\ln 0.2}, \quad \text{где } a > \log_{0.2} 6.
\)

Решить неравенство:

1) \(\int_{0}^{a} (4 — 2x) \, dx < 3\), \(a > 0\);
\(
4a — a^2 < 3;
\)
\(
a^2 — 4a + 3 > 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)
\(
a_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)
\(
(a — 1)(a — 3) > 0;
\)
\(
a < 1, \quad a > 3;
\)
Ответ: \((0; 1) \cup (3; +\infty)\).

2) \(\int_{\log_{0.2} 6}^{a} 0.2^x \, dx > \frac{19}{\ln 0.2}\), \(a > \log_{0.2} 6\);
\(
\frac{0.2^a}{\ln 0.2} — \frac{0.2^{\log_{0.2} 6}}{\ln 0.2} > \frac{19}{\ln 0.2};
\)
\(
0.2^a — 6 < 19;
\)
\(
0.2^a < 25;
\)
\(
a > \log_{0.2} 6;
\)

Ответ: \((\log_{0.2} 6; +\infty)\).

Решить неравенство:

1) Рассмотрим неравенство:
\(
\int_{0}^{a} (4 — 2x) \, dx < 3, \quad a > 0.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{0}^{a} (4 — 2x) \, dx = \left( 4x — x^2 \right)_{0}^{a} = 4a — a^2.
\)
Установим неравенство:
\(
4a — a^2 < 3.
\)
Перепишем его в стандартной форме:
\(
-a^2 + 4a — 3 < 0.
\)
Перемножим на -1 (не забывая изменить знак неравенства):
\(
a^2 — 4a + 3 > 0.
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\)
Теперь находим корни уравнения:
\(
a_1 = \frac{4 — \sqrt{D}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1,
\)
\(
a_2 = \frac{4 + \sqrt{D}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\)
Теперь решим неравенство:
\(
(a — 1)(a — 3) > 0.
\)
Анализируем знаки произведения:
1. \(a < 1\) (оба множителя отрицательные).
2. \(a > 3\) (оба множителя положительные).

Таким образом, решение неравенства:
\(
(0; 1) \cup (3; +\infty).
\)

2) Рассмотрим второе неравенство:
\(
\int_{\log_{0.2} 6}^{a} 0.2^x \, dx > \frac{19}{\ln 0.2}, \quad a > \log_{0.2} 6.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{\log_{0.2} 6}^{a} 0.2^x \, dx = \left( \frac{0.2^x}{\ln 0.2} \right)_{\log_{0.2} 6}^{a}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{0.2^a}{\ln 0.2} — \frac{0.2^{\log_{0.2} 6}}{\ln 0.2} > \frac{19}{\ln 0.2}.
\)
Умножим обе стороны на \(\ln 0.2\) (так как \(\ln 0.2 < 0\), знак неравенства изменится):
\(
0.2^a — 6 < 19.
\)
Упрощаем неравенство:
\(
0.2^a < 25.
\)
Теперь применим логарифм:
\(
a > \log_{0.2} 25.
\)
Также имеем условие:
\(
a > \log_{0.2} 6.
\)

Таким образом, окончательное решение для второго неравенства:
\(
(\log_{0.2} 6; +\infty).
\)