ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях а выполняется неравенство:

\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) dx > 1.5, \quad a > \frac{1}{2}
\)

\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2 + 1}\right) \, dx > 1.5, \quad a > \frac{1}{2};
\)
\(
-\frac{1}{x} + x \Big|_{\frac{1}{2}}^{a} > 1.5;
\)
\(
\left(-\frac{1}{a} + a\right) — \left(-2 + \frac{1}{2}\right) > 1.5;
\)
\(
-\frac{1}{a} + a + \frac{3}{2} > \frac{3}{2};
\)
\(
a — \frac{1}{a} > 0;
\)
\(
a^2 — 1 > 0;
\)
\(
(a + 1)(a — 1) > 0;
\)
\(
-1 < a < 0, \quad a > 1;
\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

Решим неравенство:

\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2 + 1}\right) \, dx > 1.5, \quad a > \frac{1}{2}.
\)

Вычислим интеграл:
\(
\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x).
\)

Тогда:
\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2 + 1}\right) \, dx = \tan^{-1}(a) — \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right).
\)

Подставим это в неравенство:
\(
\tan^{-1}(a) — \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) > 1.5.
\)

Теперь выразим неравенство в виде:
\(
\tan^{-1}(a) > 1.5 + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right).
\)

Сначала вычислим \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\). Это значение можно оставить как есть, поскольку оно не имеет простого выражения.

Теперь используем свойства функции арктангенса. Для того чтобы найти \(a\), нам нужно решить:
\(
a > \tan\left(1.5 + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right).
\)
Обозначим \(k = 1.5 + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\). Теперь найдем \(a\):
\(
a > \tan(k).
\)

Теперь рассмотрим следующее неравенство:
\(
-\frac{1}{x} + x \Big|_{\frac{1}{2}}^{a} > 1.5.
\)

Вычислим его:
\(
-\frac{1}{a} + a — \left(-2 + \frac{1}{2}\right) > 1.5.
\)

Упрощаем:
\(
-\frac{1}{a} + a + \frac{3}{2} > 1.5.
\)

Переносим \(1.5\) влево:
\(
-\frac{1}{a} + a > 0.
\)

Умножим на \(a\) (помня, что \(a > 0\)):
\(
a^2 — 1 > 0.
\)

Теперь решим это неравенство:
\(
(a — 1)(a + 1) > 0.
\)

Анализируем знаки произведения:
1. \(a < -1\) (не подходит, так как \(a > \frac{1}{2}\)).
2. \(a > 1\) (подходит).

Таким образом, окончательное решение неравенства:
\(
(1; +\infty).
\)