ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите определённые интегралы:}
\)

1) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) \, dx\)

2) \(\int_{-\pi}^{0} 2 \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) \, dx\)

3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(3x) \cos(x) \, dx\)

4) \(\int_{1}^{2} \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} \, dx\)

1)
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan 2x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \left(\frac{1}{\cos^2 3x} — 1\right) \, dx = \frac{1}{3} \tan 3x — x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{12}} =
\)
\(
\left(\frac{1}{3} \tan \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{12}\right) — \left(\frac{1}{3} \tan 0 — 0\right) = \frac{1}{3} — \frac{\pi}{12} = \frac{4 — \pi}{12};
\)
Ответ: \(\frac{4 — \pi}{12}\).

2)
\(
\int_{-\pi}^{0} 2 \sin^2 \frac{x}{4} \, dx = \int_{-\pi}^{0} 2 \cdot \frac{1 — \cos \frac{x}{2}}{2} \, dx = \int_{-\pi}^{0} (1 — \cos \frac{x}{2}) \, dx =
\)
\(
x — 2 \sin \frac{x}{2} \Big|_{-\pi}^{0} = (0 — 2 \sin 0) — (-\pi — 2 \sin (-\frac{\pi}{2})) =
\)
\(
0 — 0 + \pi — 2 \sin \frac{\pi}{2} = \pi — 2;
\)
Ответ: \(\pi — 2\).

3)
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 3x \cos x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 4x) \, dx =
\)
\(
\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x\right) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} \sin \pi + \frac{1}{8} \sin 2\pi — \frac{1}{4} \sin 0 — \frac{1}{8} \sin 0 = 0;
\)
Ответ: \(0\).

4)
\(
\int_{1}^{2} \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} \, dx = \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x^3} + \frac{1}{e^x}\right) \, dx = \left(-\frac{1}{2} x^{-2} — e^{-x}\right) \Big|_{1}^{2} =
\)
\(
\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} — \frac{1}{e^2}\right) — \left(-\frac{1}{2} \cdot 1 — \frac{1}{e}\right) = \frac{3}{8} — \frac{1}{e^2} + \frac{1}{e};
\)
Ответ: \(\frac{3e^2 + 8e — 8}{8e^2}\).

Вычислить определенный интеграл:

1) Рассмотрим интеграл:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan 2x \, dx.
\)
Используем преобразование:
\(
\tan 2x = \frac{1}{\cos^2 2x} — 1.
\)
Тогда интеграл можно записать так:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan 2x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \left(\frac{1}{\cos^2 2x} — 1\right) \, dx.
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
= \left( \frac{1}{3} \tan 3x — x \right)_{0}^{\frac{\pi}{12}}.
\)
Подставляем пределы:
\(
= \left( \frac{1}{3} \tan \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{12} \right) — \left( \frac{1}{3} \tan 0 — 0 \right).
\)
Значение \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\) и \(\tan 0 = 0\), поэтому:
\(
= \frac{1}{3} — \frac{\pi}{12}.
\)
Таким образом, итоговый результат:
\(
= \frac{4 — \pi}{12}.
\)
Ответ: \(\frac{4 — \pi}{12}\).

2) Рассмотрим интеграл:
\(
\int_{-\pi}^{0} 2 \sin^2 \frac{x}{4} \, dx.
\)
Используем формулу:
\(
\sin^2 u = \frac{1 — \cos(2u)}{2}.
\)
Тогда интеграл можно записать как:
\(
= \int_{-\pi}^{0} 2 \cdot \frac{1 — \cos \frac{x}{2}}{2} \, dx = \int_{-\pi}^{0} (1 — \cos \frac{x}{2}) \, dx.
\)
Теперь вычислим этот интеграл:
\(
= x — 2 \sin \frac{x}{2} \Big|_{-\pi}^{0}.
\)
Подставляем пределы:
\(
= (0 — 2 \sin 0) — (-\pi — 2 \sin (-\frac{\pi}{2})).
\)
Значение \(\sin 0 = 0\) и \(\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\), поэтому:
\(
= 0 — 0 + \pi — 2(-1) = \pi — 2.
\)
Ответ: \(\pi — 2\).

3) Рассмотрим интеграл:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 3x \cos x \, dx.
\)
Используем формулу произведения:
\(
\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B)).
\)
Тогда интеграл можно записать как:
\(
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (\cos(4x) + \cos(2x)) \, dx.
\)
Теперь вычислим этот интеграл:
\(
= \frac{1}{2} \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(4x) \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx\right).
\)
Вычислим каждый из интегралов:
— Для первого интеграла:
\(
= \left( \frac{1}{4} \sin(4x) \right)_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} (\sin(2\pi) — \sin(0)) = 0.
\)
— Для второго интеграла:
\(
= \left( \frac{1}{2} \sin(2x) \right)_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\sin(\pi) — \sin(0)) = 0.
\)
Таким образом, итоговый результат:
\(
= 0.
\)
Ответ: \(0\).

4) Рассмотрим интеграл:
\(
\int_{1}^{2} \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} \, dx.
\)
Разделим дробь на две части:
\(
= \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x^3} + \frac{1}{e^x}\right) \, dx.
\)
Теперь вычислим каждый из интегралов отдельно:
— Для первого интеграла:
\(
= -\frac{1}{2} x^{-2} + C.
\)
Подставляем пределы:
— Для второго интеграла:
\(
= -e^{-x} + C.
\)
Теперь подставим пределы для обоих интегралов:
\(
= \left(-\frac{1}{2} x^{-2} — e^{-x}\right)_{1}^{2}.
\)
Подставляем пределы:
— Для \(x = 2:\)
\(
-\frac{1}{2} (2^{-2}) — e^{-2} = -\frac{1}{8} — e^{-2}.
\)
— Для \(x = 1:\)
\(
-\frac{1}{2}(1^{-2}) — e^{-1} = -\frac{1}{2} — e^{-1}.
\)
Теперь вычислим разность:
\(
= \left(-\frac{1}{8} — e^{-2}\right) — \left(-\frac{1}{2} — e^{-1}\right).
\)
Упрощаем выражение:
\(
= -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} + e^{-1} — e^{-2}.
\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
Ответ:
\(
= \frac{3e^2 + 8e — 8}{8e^2}.
\)