ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) \( y = x^2 — 3x — 4 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 3 \);

2) \( y = -x^2 \), \( y = x — 2 \);

3) \( y = x^2 — 4 \), \( y = 4 — x^2 \);

4) \( y = x^2 — 2x \), \( y = x \);

5) \( y = 3\sin(x) \), \( y = -2\sin(x) \), \( x = 0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \);

6) \( y = \frac{4}{x} — 2 \), \( y = 2 \), \( x = 2 \), \( x = 4 \).

1) \( y = x^2 — 3x — 4, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 3; \)

\(
S = \int_0^3 (x^2 — 3x — 4) dx = \left(\frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} — 4x \right) \Bigg|_0^3 = \frac{27}{3} — \frac{3}{2} \cdot 9 — 4 \cdot 3 =
\)
\(
= 9 — 13.5 — 12 = -16.5;
\)

Ответ: 16,5.

2) \( y = -x^2, \quad y = x — 2; \)

Точки пересечения:

\(
-x^2 = x — 2;
\)

\(
x^2 + x — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^1 (-x^2 — x + 2) dx = \left(-\frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + 2x \right) \Bigg|_{-2}^1 =
\)

\(
= \left(-\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 2 \right) — \left(-\frac{8}{3} — \frac{4}{2} — 4 \right) = \left(-\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 2 \right) — \left(-\frac{8}{3} — 2 — 4 \right) =
\)

\(
= \left(-\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 2 \right) + \frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 6 = 4.5;
\)

Ответ: 4,5.

3) \( y = x^2 — 4, \quad y = 4 — x^2; \)

Точки пересечения:

\(
x^2 — 4 = 4 — x^2;
\)
\(
2x^2 — 8 = 0;
\)
\(
x^2 — 4 = 0;
\)
\(
(x + 2)(x — 2) = 0;
\)
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 2;
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^2 (x^2 — 4 — 4 + x^2) dx = \int_{-2}^2 (2x^2 — 8) dx = \left(\frac{2x^3}{3} — 8x \right) \Bigg|_{-2}^2 =
\)
\(
= \left(\frac{2}{3} \cdot 8 — 16 \right) — \left(\frac{2}{3} \cdot (-8) + 16 \right) = \frac{32}{3} — 16 — \left(-\frac{16}{3} + 16 \right) = \frac{32}{3} — 16 + \frac{16}{3} —
\)
\(
— 16 = \frac{48}{3} — 32 = 16 — 32 = -16;
\)

\(
S = \frac{64}{3};
\)

Ответ: \(\frac{64}{3}\).

4) \( y = x^2 — 2x, \quad y = x; \)

Точки пересечения:

\(
x^2 — 2x = x;
\)
\(
x^2 — 3x = 0;
\)
\(
x(x — 3) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3;

Площадь фигуры:

\(
S = \int_0^3 (x^2 — 2x — x) dx = \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} \Bigg|_0^3 =
\)
\(
= \frac{3^3}{3} — \frac{3}{2} \cdot 3^2 = \frac{27}{3} — \frac{27}{2} = 9 — 13{,}5 = -4{,}5;
\)

Ответ: 4,5.

5) \( y = 3 \sin x, \quad y = -2 \sin x, \quad x = 0, \quad x = \frac{2\pi}{3}; \)

\(
S = \int_0^{\frac{2\pi}{3}} (3 \sin x + 2 \sin x) dx = -5 \cos x \Bigg|_0^{\frac{2\pi}{3}} =
\)
\(
= -5 \cos \frac{2\pi}{3} + 5 \cos 0 = -5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5 = 7{,}5;
\)

Ответ: 7,5.

6) \( y = \frac{4}{x} — 2, \quad y = 2, \quad x=2, \quad x=4; \)

\(
S = \int_2^4 \left(\frac{4}{x} — 2 — 2 \right) dx = 4 \int_2^4 \frac{1}{x} dx — 4 \int_2^4 dx =
\)
\(
= (4 \ln 4 — 16) — (4 \ln 2 — 8) = 4 \ln 2 — 8;
\)

Ответ: \(8 — 4 \ln 2\).

(1) Задача

Даны функции:

\(
y = x^2 — 3x — 4, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 3
\)

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми.

Решение:

Площадь вычисляется как определённый интеграл от функции \( y = x^2 — 3x — 4 \) на отрезке от 0 до 3:

\(
S = \int_0^3 (x^2 — 3x — 4) \, dx
\)

Вычислим первообразную:

\(
\int (x^2 — 3x — 4) \, dx = \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} — 4x + C
\)

Подставляем пределы интегрирования:

\(
S = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} — 4x \right) \Bigg|_0^3 = \left( \frac{27}{3} — \frac{3 \cdot 9}{2} — 12 \right) — \left( 0 — 0 — 0 \right) = 9 — 13.5 — 12 =
\)
\(
= -16.5
\)

Площадь всегда положительна, поэтому берём модуль:

\(
S = 16.5
\)

(2) Задача

Даны функции:

\(
y = -x^2, \quad y = x — 2
\)

Найдём точки пересечения:

\(
-x^2 = x — 2
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 + x — 2 = 0
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^1 \big( (x — 2) — (-x^2) \big) dx = \int_{-2}^1 (x — 2 + x^2) \, dx = \int_{-2}^1 (x^2 + x — 2) \, dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
\int (x^2 + x — 2) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} — 2x + C
\)

Подставляем пределы:

\(
S = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} — 2x \right) \Bigg|_{-2}^1 = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2 \right) — \left( \frac{-8}{3} + 2 — (-4) \right)
\)

Рассчитаем численно:

\(
= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2 \right) — \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2 \right) + \frac{8}{3} — 2 — 4
\)

\(
= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2 \right) + \frac{8}{3} — 6
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}
\)

Тогда:

\(
S = \left( \frac{5}{6} — 2 \right) + \frac{8}{3} — 6 = \left( \frac{5}{6} — \frac{12}{6} \right) + \frac{16}{6} — \frac{36}{6} = -\frac{7}{6} + \frac{16}{6} — \frac{36}{6} = -\frac{27}{6} =
\)
\(
= -4.5
\)

Опять берём модуль площади:

\(
S = 4.5
\)

(3) Задача

Даны функции:

\(
y = x^2 — 4, \quad y = 4 — x^2
\)

Найдём точки пересечения:

\(
x^2 — 4 = 4 — x^2
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
2x^2 — 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4
\)

Корни:

\(
x = \pm 2
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^2 \big( (4 — x^2) — (x^2 — 4) \big) dx = \int_{-2}^2 (4 — x^2 — x^2 + 4) dx = \int_{-2}^2 (8 — 2x^2) dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
\int (8 — 2x^2) dx = 8x — \frac{2x^3}{3} + C
\)

Подставляем пределы:

\(
S = \left( 8x — \frac{2x^3}{3} \right) \Bigg|_{-2}^2 = \left( 16 — \frac{16}{3} \right) — \left( -16 + \frac{16}{3} \right) = (16 — \frac{16}{3}) + 16 — \frac{16}{3} =
\)

\(
= 32 — \frac{32}{3} = \frac{96 — 32}{3} = \frac{64}{3}
\)

(4) Задача

Даны функции:

\(
y = x^2 — 2x, \quad y = x
\)

Найдём точки пересечения:

\(
x^2 — 2x = x
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x^2 — 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 3) = 0
\)

Корни:

\(
x = 0, \quad x = 3
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_0^3 \big( (x^2 — 2x) — x \big) dx = \int_0^3 (x^2 — 3x) dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
\int (x^2 — 3x) dx = \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} + C
\)

Подставляем пределы:

\(
S = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} \right) \Bigg|_0^3 = \left( \frac{27}{3} — \frac{3 \cdot 9}{2} \right) — 0 = 9 — 13.5 = -4.5
\)

Берём модуль:

\(
S = 4.5
\)

(5) Задача

Даны функции:

\(
y = 3 \sin x, \quad y = -2 \sin x, \quad x = 0, \quad x = \frac{2\pi}{3}
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_0^{\frac{2\pi}{3}} \big( 3 \sin x — (-2 \sin x) \big) dx = \int_0^{\frac{2\pi}{3}} 5 \sin x \, dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
\int 5 \sin x \, dx = -5 \cos x + C
\)

Подставляем пределы:

\(
S = \left(-5 \cos x \right) \Bigg|_0^{\frac{2\pi}{3}} = -5 \cos \frac{2\pi}{3} + 5 \cos 0 = -5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5 \cdot 1 = \frac{5}{2} + 5 = 7.5
\)

(6) Задача

Даны функции:

\(
y = \frac{4}{x} — 2, \quad y = 2, \quad x = 2, \quad x = 4
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_2^4 \left( \frac{4}{x} — 2 — 2 \right) dx = \int_2^4 \left( \frac{4}{x} — 4 \right) dx = 4 \int_2^4 \frac{1}{x} dx — 4 \int_2^4 dx
\)

Вычислим интегралы:

\(
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C, \quad \int dx = x + C
\)

Подставляем пределы:

\(
S = 4 \left( \ln 4 — \ln 2 \right) — 4 (4 — 2) = 4 \ln \frac{4}{2} — 8 = 4 \ln 2 — 8
\)

Ответ можно записать как:

\(
S = 8 — 4 \ln 2
\)