ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
\(
y = x^2 — 4x, \quad y = x — 4.
\)

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
\(
y = 3 — x^2, \quad y = 2x.
\)

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
\(
y = \cos(x), \quad y = -2\cos(x), \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{2}.
\)

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
\(
y = 4 — x^2, \quad y = x^2 — 2x.
\)

1) \( y = x^2 — 4x, \quad y = x — 4; \)
Точки пересечения:
\( x^2 — 4x = x — 4; \)
\( x^2 — 5x + 4 = 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \) тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^4 (x^2 — 4x — x + 4) dx = \int_1^4 (x^2 — 5x + 4) dx = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{5x^2}{2} + 4x \right) \Bigg|_1^4 =
\)
\(
= \left( \frac{64}{3} — \frac{5}{2} \cdot 16 + 16 \right) — \left( \frac{1}{3} — \frac{5}{2} + 4 \right) = 33 — \frac{75}{2} = -4.5;
\)
Ответ: 4.5.

2) \( y = 3 — x^2, \quad y = 2x; \)
Точки пересечения:
\( 3 — x^2 = 2x; \)
\( x^2 + 2x — 3 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-3}^1 (3 — x^2 — 2x) dx = \left( 3x — \frac{x^3}{3} — x^2 \right) \Bigg|_{-3}^1 =
\)
\(
= \left( 3 — \frac{1}{3} — 1 \right) — \left( -9 + \frac{27}{3} — 9 \right) = 20 — \frac{28}{3} = \frac{32}{3};
\)
Ответ: \( \frac{32}{3} \).

3) \( y = \cos x, \quad y = -2 \cos x, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{2}; \)
\(
S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 2 \cos x) dx = 3 \sin x \Bigg|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =
\)
\(
= 3 \sin \frac{\pi}{2} — 3 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 + 3 \cdot \frac{1}{2} = 4.5;
\)
Ответ: 4.5.

4) \( y = 4 — x^2, \quad y = x^2 — 2x; \)
Точки пересечения:
\(
4 — x^2 = x^2 — 2x;
\)
\(
2x^2 — 2x — 4 = 0;
\)
\(
x^2 — x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-1}^2 \left(4 — x^2 — (x^2 — 2x) \right) dx = \int_{-1}^2 \left(4 — x^2 — x^2 + 2x \right) dx =
\)
\(
= \int_{-1}^2 \left(4 — 2x^2 + 2x \right) dx = \left(4x — \frac{2x^3}{3} + x^2 \right) \Bigg|_{-1}^2 =
\)
\(
= \left(8 — \frac{16}{3} + 4 \right) — \left(-4 + \frac{2}{3} + 1 \right) = \left(12 — \frac{16}{3} \right) — \left(-3 + \frac{2}{3} \right) = 15 — \frac{18}{3} = 9;
\)
Ответ: 9.

1) \( y = x^2 — 4x, \quad y = x — 4 \)

Точки пересечения:

\(
x^2 — 4x = x — 4
\)

\(
x^2 — 5x + 4 = 0
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_1^4 (x^2 — 4x — x + 4) dx
\)

Приведем подобные члены под интегралом:

\(
S = \int_1^4 (x^2 — 5x + 4) dx
\)

Вычислим первообразную:

\(
\int (x^2 — 5x + 4) dx = \frac{x^3}{3} — \frac{5x^2}{2} + 4x
\)

Теперь подставим пределы интегрирования:

\(
S = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{5x^2}{2} + 4x \right) \Big|_1^4
\)

Подставим верхний предел \( x = 4 \):

\(
\frac{64}{3} — \frac{5}{2} \cdot 16 + 4 \cdot 4 = \frac{64}{3} — 40 + 16
\)

Результат для верхнего предела:

\(
\frac{64}{3} — 24
\)

Подставим нижний предел \( x = 1 \):

\(
\frac{1}{3} — \frac{5}{2} \cdot 1 + 4 \cdot 1 = \frac{1}{3} — \frac{5}{2} + 4
\)

Результат для нижнего предела:

\(
\frac{1}{3} — 2.5 + 4 = \frac{1}{3} + 1.5
\)

Теперь вычтем значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе:

\(
S = \left( \frac{64}{3} — 24 \right) — \left( \frac{1}{3} + 1.5 \right)
\)

Приведем подобные члены:

\(
S = \frac{64}{3} — \frac{1}{3} — 24 — 1.5
\)

Объединим дроби:

\(
S = \frac{63}{3} — 25.5
\)

Результат:

\(
S = 21 — 25.5 = -4.5
\)

Ответ: \( S = 4.5 \)

2) \( y = 3 — x^2, \quad y = 2x \)

Точки пересечения:

\(
3 — x^2 = 2x
\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\(
x^2 + 2x — 3 = 0
\)

Дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-3}^1 (3 — x^2 — 2x) dx
\)

Приведем подобные члены под интегралом:

\(
S = \int_{-3}^1 (3 — x^2 — 2x) dx
\)

Вычислим первообразную:

\(
\int (3 — x^2 — 2x) dx = 3x — \frac{x^3}{3} — x^2
\)

Теперь подставим пределы интегрирования:

\(
S = (3x — \frac{x^3}{3} — x^2) \Big|_{-3}^1
\)

Подставим верхний предел \( x = 1 \):

\(
3 \cdot 1 — \frac{1^3}{3} — 1^2 = 3 — \frac{1}{3} — 1
\)

Результат для верхнего предела:

\(
\frac{6}{3} — \frac{1}{3} = \frac{5}{3}
\)

Подставим нижний предел \( x = -3 \):

\(
3 \cdot (-3) — \frac{(-3)^3}{3} — (-3)^2 = -9 — \frac{-27}{3} — 9
\)

Результат для нижнего предела:

\(
-9 + 9 — 9 = -9
\)

Теперь вычислим разность верхнего и нижнего пределов:

\(
S = \frac{5}{3} — (-9) = \frac{5}{3} + 9
\)

Приведем к общему знаменателю:

\(
S = \frac{5}{3} + \frac{27}{3} = \frac{32}{3}
\)

Ответ:

\(
S = \frac{32}{3}
\)

3) \( y = \cos x, \quad y = -2 \cos x, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{2} \)

Площадь фигуры вычисляется как:

\(
S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos x — (-2 \cos x) \right) dx
\)

Приведем выражение под интегралом:

\(
S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos x + 2 \cos x \right) dx
\)

Сложим коэффициенты перед \(\cos x\):

\(
S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos x \, dx
\)

Вычислим первообразную для \(3 \cos x\):

\(
\int 3 \cos x \, dx = 3 \sin x
\)

Подставим пределы интегрирования:

\(
S = 3 \sin x \Bigg|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}
\)

Подставим верхний предел \(x = \frac{\pi}{2}\):

\(
3 \sin \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 1 = 3
\)

Подставим нижний предел \(x = -\frac{\pi}{6}\):

\(
3 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}
\)

Вычислим разность значений на верхнем и нижнем пределе:

\(
S = 3 — \left(-\frac{3}{2}\right)
\)

Упростим выражение:

\(
S = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5
\)

Ответ:

\(
S = 4.5
\)

4) \( y = 4 — x^2, \quad y = x^2 — 2x \)

Точки пересечения:

\(
4 — x^2 = x^2 — 2x
\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\(
4 = 2x^2 — 2x
\)

\(
2x^2 — 2x — 4 = 0
\)

Разделим на 2:

\(
x^2 — x — 2 = 0
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь вычисляется по формуле:

\(
S = \int_{-1}^{2} \left( (4 — x^2) — (x^2 — 2x) \right) dx
\)

Упростим подынтегральное выражение:

\(
S = \int_{-1}^{2} \left( 4 — x^2 — x^2 + 2x \right) dx
\)
\(
= \int_{-1}^{2} \left( 4 — 2x^2 + 2x \right) dx
\)

Теперь вычислим интеграл:

\(
S = \left( 4x — \frac{2x^3}{3} + x^2 \right) \Bigg|_{-1}^{2}
\)

Подставим верхний предел \( x = 2 \):

\(
= \left( 4 \cdot 2 — \frac{2 \cdot (2)^3}{3} + (2)^2 \right)
\)
\(
= (8 — \frac{16}{3} + 4)
\)
\(
= (12 — \frac{16}{3}) = \frac{36}{3} — \frac{16}{3} = \frac{20}{3}
\)

Теперь подставим нижний предел \( x = -1 \):

\(
= \left( 4 \cdot (-1) — \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + (-1)^2 \right)
\)
\(
= (-4 + \frac{2}{3} + 1)
\)
\(
= (-3 + \frac{2}{3}) = -\frac{9}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}
\)

Теперь вычислим разность значений на верхнем и нижнем пределе:

\(
S = \left( \frac{20}{3} \right) — \left( -\frac{7}{3} \right)
\)
\(
= \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9
\)

Ответ: \( 9 \).