ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
\(
y =
\begin{cases}
2 — x^2, & \text{если } x < 1, \\
2x — 1, & \text{если } x > 1
\end{cases},
\)
и прямыми \(y = 0\), \(x = -1\), \(x = 2\).

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
\(
y =
\begin{cases}
\cos(x), & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x < 0, \\
1 — x, & \text{если } 0 < x < 1
\end{cases},
\)
и прямой \(y = 0\).

1) \( y = \begin{cases}
2 — x^2, \text{ если } x < 1 \\
2x — 1, \text{ если } x \geq 1
\end{cases}, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 2; \)

\(
S = \int_{-1}^{1} (2 — x^2) dx + \int_{1}^{2} (2x — 1) dx = \left( 2x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} + \left( x^2 — x \right) \bigg|_{1}^{2};
\)

\(
S = \left( 2 — \frac{1}{3} \right) — \left( -2 + \frac{1}{3} \right) + (4 — 2) — (1 — 1) = 4 + 2 — \frac{2}{3} = \frac{16}{3};
\)

Ответ: \( \frac{16}{3} \).

2) \( y = \begin{cases}
\cos x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq 0 \\
1 — x, \text{ если } 0 < x \leq 1
\end{cases}, \quad y = 0; \)

\(
S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x dx + \int_{0}^{1} (1 — x) dx = (\sin x)\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} + \left( x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1};
\)

\(
S = (\sin 0 — \sin(-\frac{\pi}{2})) + (1 — \frac{1}{2}) = 0 + \sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5;
\)

Ответ: \( 1.5 \).

1)
\(
y = \begin{cases}
2 — x^2, \text{ если } x < 1 \\
2x — 1, \text{ если } x \geq 1
\end{cases}, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 2;
\)

Площадь вычисляется как сумма интегралов:
\(
S = \int_{-1}^{1} (2 — x^2) dx + \int_{1}^{2} (2x — 1) dx.
\)

Рассчитаем первый интеграл:
\(
\int_{-1}^{1} (2 — x^2) dx = \left( 2x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left( 2x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \left( 2 — \frac{1}{3} \right) — \left( -2 + \frac{1}{3} \right).
\)
Упрощаем выражение:
\(
\left( 2 — \frac{1}{3} \right) — \left( -2 + \frac{1}{3} \right) = 2 — \frac{1}{3} + 2 — \frac{1}{3} = 4 — \frac{2}{3}.
\)

Рассчитаем второй интеграл:
\(
\int_{1}^{2} (2x — 1) dx = \left( x^2 — x \right) \bigg|_{1}^{2}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left( x^2 — x \right) \bigg|_{1}^{2} = (4 — 2) — (1 — 1).
\)
Упрощаем выражение:
\(
(4 — 2) — (1 — 1) = 2.
\)

Суммируем результаты двух интегралов:
\(
S = (4 — \frac{2}{3}) + 2 = 4 + 2 — \frac{2}{3} = \frac{16}{3}.
\)

Ответ:
\(
S = \frac{16}{3}.
\)

2)
\(
y = \begin{cases}
\cos x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq 0 \\
1 — x, \text{ если } 0 < x \leq 1
\end{cases}, \quad y = 0;
\)

Площадь вычисляется как сумма интегралов:
\(
S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x dx + \int_{0}^{1} (1 — x) dx.
\)

Рассчитаем первый интеграл:
\(
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x dx = (\sin x)\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{0}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
(\sin x)\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = (\sin 0 — \sin(-\frac{\pi}{2})).
\)
Упрощаем выражение:
\(
(\sin 0 — \sin(-\frac{\pi}{2})) = 0 + 1 = 1.
\)

Рассчитаем второй интеграл:
\(
\int_{0}^{1} (1 — x) dx = \left( x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left( x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1} = (1 — \frac{1^2}{2}) — (0 — \frac{0^2}{2}).
\)
Упрощаем выражение:
\(
(1 — \frac{1}{2}) — (0 — 0) = 1 — 0.5 = 0.5.
\)

Суммируем результаты двух интегралов:
\(
S = 1 + 0.5 = 1.5.
\)

Ответ:
\(
S = 1.5.
\)