ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции
\(
y =
\begin{cases}
x + 3, & \text{если } x < -1 \\
x^2 + 1, & \text{если } x \geq -1
\end{cases}
\)
и прямыми \(y = 0\), \(x = -2\), \(x = 0\);

2) графиком функции
\(
y =
\begin{cases}
x + 2, & \text{если } -2 < x < 0 \\
2 \cos(2x), & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{4}
\end{cases}
\)
и прямой \(y = 0\).

1) Задана функция:
\(
y =
\begin{cases}
x + 3, & \text{если } x < -1, \\
x^2 + 1, & \text{если } x \geq -1,
\end{cases}
\quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = 0.
\)

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется как сумма двух интегралов:
\(
S = \int_{-2}^{-1} (x + 3) \, dx + \int_{-1}^{0} (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + 3x \right) \bigg|_{-2}^{-1} + \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_{-1}^{0}.
\)

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл:
\(
\int_{-2}^{-1} (x + 3) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + 3x \right) \bigg|_{-2}^{-1} = \left( \frac{(-1)^2}{2} + 3(-1) \right) — \left( \frac{(-2)^2}{2} + 3(-2) \right).
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \left( \frac{1}{2} — 3 \right) — \left( 2 — 6 \right) = \left( \frac{1}{2} — 3 \right) + 4 = \frac{1}{2} — 3 + 4 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
\)

Второй интеграл:
\(
\int_{-1}^{0} (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_{-1}^{0} = \left( 0 + 0 \right) — \left( -\frac{1}{3} — 1 \right) = 0 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}.
\)

Теперь сложим результаты:
\(
S = \frac{3}{2} + \frac{4}{3}.
\)

Приведем к общему знаменателю:
\(
S = \frac{9}{6} + \frac{8}{6} = \frac{17}{6}.
\)

Ответ:
\(
\frac{17}{6}.
\)

2) Задана функция:
\(
y =
\begin{cases}
x + 2, & \text{если } -2 \leq x \leq 0, \\
2 \cos 2x, & \text{если } 0 < x \leq \frac{\pi}{4},
\end{cases}
\quad y = 0.
\)

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется как сумма двух интегралов:
\(
S = \int_{-2}^{0} (x + 2) \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \, dx.
\)

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл:
\(
\int_{-2}^{0} (x + 2) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \bigg|_{-2}^{0} = \left( 0 + 0 \right) — \left( 2 — 4 \right) = 0 + 2 = 2.
\)

Второй интеграл:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \, dx = (\sin 2x) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin(0) = 1 — 0 = 1.
\)

Теперь сложим результаты:
\(
S = 2 + 1 = 3.
\)

Ответ:
\(
3.
\)

1) Задана функция:
\(
y =
\begin{cases}
x + 3, & \text{если } x < -1, \\
x^2 + 1, & \text{если } x \geq -1,
\end{cases}
\quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = 0.
\)

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется как сумма двух интегралов:
\(
S = \int_{-2}^{-1} (x + 3) \, dx + \int_{-1}^{0} (x^2 + 1) \, dx.
\)

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл:
\(
\int_{-2}^{-1} (x + 3) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + 3x \right) \Big|_{-2}^{-1}.
\)

Подставим пределы интегрирования:
\(
\left( \frac{(-1)^2}{2} + 3(-1) \right) — \left( \frac{(-2)^2}{2} + 3(-2) \right) = \left( \frac{1}{2} — 3 \right) — \left( \frac{4}{2} — 6 \right).
\)

Упростим:
\(
\left( \frac{1}{2} — 3 \right) — (2 — 6) = \left( \frac{1}{2} — 3 \right) — (-4) = \frac{1}{2} — 3 + 4 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
\)

Второй интеграл:
\(
\int_{-1}^{0} (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \Big|_{-1}^{0}.
\)

Подставим пределы:
\(
\left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) — \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right) = 0 — \left( -\frac{1}{3} — 1 \right) = 0 — \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}.
\)

Сложим результаты:
\(
S = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{9}{6} + \frac{8}{6} = \frac{17}{6}.
\)

Ответ: \( \frac{17}{6} \).

2) Задана функция:
\(
y =
\begin{cases}
x + 2, & \text{если } -2 \leq x \leq 0, \\
2 \cos 2x, & \text{если } 0 < x \leq \frac{\pi}{4},
\end{cases}
\quad y = 0.
\)

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется как сумма двух интегралов:
\(
S = \int_{-2}^{0} (x + 2) \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \, dx.
\)

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл:
\(
\int_{-2}^{0} (x + 2) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \Big|_{-2}^{0}.
\)

Подставим пределы:
\(
\left( \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) — \left( \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) = 0 — \left( \frac{4}{2} — 4 \right) =
\)
\(
= 0 — (2 — 4) = 0 — (-2) = 2.
\)

Второй интеграл:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \, dx = \left( \sin 2x \right) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}}.
\)

Подставим пределы:
\(
\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) — \sin(2 \cdot 0) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin(0) = 1 — 0 = 1.
\)

Сложим результаты:
\(
S = 2 + 1 = 3.
\)

Ответ: \( 3. \)