ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = \frac{1}{2}x^2 + 1 \), прямой, которая касается этой параболы в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \), и осями координат.

Фигура ограничена параболой, касательной к параболе в точке \(x_0\) и осями координат:
\(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\), \(x_0 = 2\);

1) Уравнение касательной:
\(y(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3\);
\(y'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x\);
\(y'(2) = 2\);
\(y = 3 + 2(x — 2) = 2x — 1\);

2) Графики функций:

3) Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^2 \left(\frac{1}{2}x^2 + 1\right) dx — \int_{0.5}^2 (2x — 1) dx;
\)
\(
S = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + x\right) \big|_0^2 — \left(x^2 — x\right) \big|_{0.5}^2;
\)
\(
S = \left(\frac{1}{6} \cdot 8 + 2\right) — (4 — 2) + \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{2}\right);
\)
\(
S = \frac{4}{3} + 2 — 2 — \frac{1}{4} = \frac{16 — 3}{12} = \frac{13}{12};
\)

Ответ:
\(
\frac{13}{12}.
\)

Фигура ограничена параболой, касательной к параболе в точке \(x_0\) и осями координат. Рассмотрим параболу:

\(
y = \frac{1}{2}x^2 + 1,
\)

где \(x_0 = 2\).

1) Уравнение касательной. Для нахождения уравнения касательной в точке \(x_0\) сначала найдем значение функции в этой точке:

\(
y(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3.
\)

Теперь найдем производную функции, чтобы определить наклон касательной:

\(
y'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x.
\)

Подставив \(x_0 = 2\) в производную, получим:

\(
y'(2) = 2.
\)

Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке \( (2, 3) \). Используя формулу для уравнения прямой, получаем:

\(
y — y_0 = m(x — x_0),
\)

где \(m\) — наклон (производная в точке), \(y_0\) — значение функции в точке. Подставив известные значения, получаем:

\(
y — 3 = 2(x — 2).
\)

Упрощая, получаем уравнение касательной:

\(
y = 2x — 1.
\)

2) Графики функций. На графике будет изображена парабола \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\) и касательная \(y = 2x — 1\).

3) Площадь фигуры. Площадь фигуры, ограниченной параболой, касательной и осями координат, вычисляется как разность двух интегралов:

\(
S = \int_0^2 \left(\frac{1}{2}x^2 + 1\right) dx — \int_{0.5}^2 (2x — 1) dx.
\)

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл:

\(
S_1 = \int_0^2 \left(\frac{1}{2}x^2 + 1\right) dx = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + x\right) \bigg|_0^2.
\)

Подставим пределы интегрирования:

\(
S_1 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} + 2\right) — \left(0 + 0\right) = \frac{4}{3} + 2.
\)

Второй интеграл:

\(
S_2 = \int_{0.5}^2 (2x — 1) dx = \left(x^2 — x\right) \bigg|_{0.5}^2.
\)

Подставим пределы интегрирования:

\(
S_2 = (4 — 2) — \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{2}\right) = 2 — \left(\frac{1}{4} — \frac{2}{4}\right) = 2 — \left(-\frac{1}{4}\right) = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.
\)

Теперь подставим значения \(S_1\) и \(S_2\):

\(
S = S_1 — S_2 = \left(\frac{4}{3} + 2\right) — \frac{9}{4}.
\)

Приведем к общему знаменателю:

\(
= \left(\frac{4}{3} + \frac{6}{3}\right) — \frac{9}{4} = \frac{10}{3} — \frac{9}{4}.
\)

Находим общий знаменатель (12):

\(
= \frac{40}{12} — \frac{27}{12} = \frac{13}{12}.
\)

Ответ:

\(
S = \frac{13}{12}.
\)