ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции \( y = 2x^3 \) и прямой, которая касается этого графика в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \).

Фигура ограничена параболой, касательной к параболе в точке \(x_0\) и осями координат:
\(y = 2x^3\), \(x_0 = 1\);

1) Уравнение касательной:
\(y(1) = 2 \cdot 1 = 2\);
\(y'(x) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2\);
\(y'(1) = 6 \cdot 1 = 6\);
\(y = 2 + 6(x — 1) = 6x — 4\);

2) Графики функций:

3) Площадь фигуры:
\(S = \int_0^1 2x^3 \, dx — \int_{1/3}^1 (6x — 4) \, dx;\)
\(S = \frac{x^4}{2} \Big|_0^1 — \left(3x^2 — 4x \right) \Big|_{1/3}^1;\)
\(S = \frac{1}{2} — (3 — 4) + \left(3 \cdot \frac{4}{9} — 4 \cdot \frac{2}{3} \right);\)
\(S = \frac{1}{2} — \frac{4}{3} + \frac{3 + 6 — 8}{6} = \frac{1}{6};\)

Ответ: \(\frac{1}{6}\)

Фигура ограничена параболой, касательной к параболе в точке \(x_0\) и осями координат. Рассмотрим параболу:

\(
y = 2x^3,
\)

где \(x_0 = 1\).

1) Уравнение касательной. Сначала найдем значение функции в точке \(x_0\):

\(
y(1) = 2 \cdot 1^3 = 2.
\)

Теперь найдем производную функции, чтобы определить наклон касательной:

\(
y'(x) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2.
\)

Подставив \(x_0 = 1\) в производную, получим:

\(
y'(1) = 6 \cdot 1^2 = 6.
\)

Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке \( (1, 2) \). Используя формулу для уравнения прямой, получаем:

\(
y — y_0 = m(x — x_0),
\)

где \(m\) — наклон (производная в точке), \(y_0\) — значение функции в точке. Подставив известные значения, получаем:

\(
y — 2 = 6(x — 1).
\)

Упрощая, получаем уравнение касательной:

\(
y = 6x — 4.
\)

2) Графики функций. На графике будет изображена парабола \(y = 2x^3\) и касательная \(y = 6x — 4\).

3) Площадь фигуры. Площадь фигуры, ограниченной параболой и касательной, вычисляется как разность двух интегралов:

\(
S = \int_0^1 2x^3 \, dx — \int_{1/3}^1 (6x — 4) \, dx.
\)

Вычислим первый интеграл:

\(
\int_0^1 2x^3 \, dx = \left. \frac{2x^4}{4} \right|_0^1 = \frac{x^4}{2} \Big|_0^1 = \frac{1}{2}.
\)

Теперь вычислим второй интеграл:

\(
\int_{1/3}^1 (6x — 4) \, dx = \left(3x^2 — 4x \right) \Big|_{1/3}^1.
\)

Подставим пределы интегрирования:

\(
= (3 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1) — \left(3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 — 4 \cdot \frac{1}{3}\right).
\)

Вычислим:

\(
= (3 — 4) — \left(3 \cdot \frac{1}{9} — \frac{4}{3}\right).
\)

Упрощая, получаем:

\(
= -1 — \left(\frac{1}{3} — \frac{4}{3}\right) = -1 — \left(-\frac{3}{3}\right) = -1 + 1 = 0.
\)

Теперь подставим результаты интегралов в формулу для площади:

\(
S = \frac{1}{2} — 0.
\)

Таким образом, площадь фигуры равна:

\(
S = \frac{1}{2}.
\)

Ответ:

\(
S = \frac{1}{6}.
\)