Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Вычислите определённый интеграл, используя его геометрический смысл:}
\)
\(
\int_{-1}^{1} \sqrt{1 — x^2} \, dx
\)
\(
\int_{-3}^{0} \sqrt{9 — x^2} \, dx
\)
\(
\int_{4}^{8} \sqrt{8x — x^2} \, dx
\)
\(
\int_{-5}^{1} (5 — 4x — x^2) \, dx
\)
\(
\int_{-4}^{1} |x| \, dx
\)
\(
\int_{0}^{5} |x — 2| \, dx
\)
Вычислить определенный интеграл:
1) \(\int_{-1}^1 \sqrt{1 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{\pi}{2};\)
Область определения:
\(1 — x^2 \geq 0;\)
\(x^2 — 1 \leq 0;\)
\((x + 1)(x — 1) \leq 0;\)
\(-1 \leq x \leq 1;\)
Дана половина круга:
\(R = \frac{1 — (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1;\)
Ответ: \(\frac{\pi}{2}\)
2) \(\int_{-3}^0 \sqrt{9 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{4} = \frac{9\pi}{4};\)
Область определения:
\(9 — x^2 \geq 0;\)
\(x^2 — 9 \leq 0;\)
\((x + 3)(x — 3) \leq 0;\)
\(-3 \leq x \leq 3;\)
Дана четверть круга:
\(R = \frac{3 — (-3)}{2} = \frac{6}{2} = 3;\)
Ответ: \(\frac{9\pi}{4}.\)
3) \(\int_{4}^{8} \sqrt{8x — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{4} = 4\pi;\)
Область определения:
\(8x — x^2 \geq 0;\)
\(x^2 — 8x \leq 0;\)
\(x(x — 8) \leq 0;\)
\(0 \leq x \leq 8;\)
Дана четверть круга:
\(R = \frac{8 — 0}{2} = \frac{8}{2} = 4;\)
Ответ: \(4\pi.\)
4) \(\int_{-5}^{1} \sqrt{5 — 4x — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{9\pi}{2};\)
Область определения:
\(5 — 4x — x^2 \geq 0;\)
\(x^2 + 4x — 5 \leq 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = -5,\)
\(x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = 1;\)
\((x + 5)(x — 1) \leq 0;\)
\(-5 \leq x \leq 1.\)
Дана половина круга:
\(R = \frac{1 — (-5)}{2} = \frac{6}{2} = 3;\)
Ответ: \(\frac{9\pi}{2}.\)
5) \(\int_{-4}^{1} |x| \, dx = \frac{1 \cdot 1}{2} + \frac{4 \cdot 4}{2} = 8,5;\)
Вершина ломаной:
\(x = 0,\) \(y = 0;\)
Первый треугольник:
\(a = b = 1;\)
Второй треугольник:
\(a = b = 4;\)
Ответ: \(8,5.\)
6) \(\int_{0}^{5} |x — 2| \, dx = \frac{3 \cdot 3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} = 6,5;\)
Вершина ломаной:
\(x = 2,\) \(y = 0;\)
Первый треугольник:
\(a = b = 3;\)
Второй треугольник:
\(a = b = 2;\)
Ответ: \(6,5.\)
1) Вычисление интеграла:
\(
\int_{-1}^1 \sqrt{1 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{\pi}{2}.
\)
Область определения:
\(
1 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 1 — -1 \leq x \leq 1.
\)
Это соответствует половине круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{1 — (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)
Ответ:
\(
\frac{\pi}{2}.
\)
2) Вычисление интеграла:
\(
\int_{-3}^0 \sqrt{9 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{4} = \frac{9\pi}{4}.
\)
Область определения:
\(
9 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 9 — -3 \leq x \leq 3.
\)
Это соответствует четверти круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{3 — (-3)}{2} = \frac{6}{2} = 3.
\)
Ответ:
\(
\frac{9\pi}{4}.
\)
3) Вычисление интеграла:
\(
\int_{4}^{8} \sqrt{8x — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{4} = 4\pi.
\)
Область определения:
\(
8x — x^2 \geq 0 — x(x — 8) \leq 0.
\)
Это соответствует четверти круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{8 — 0}{2} = \frac{8}{2} = 4.
\)
Ответ:
\(
4\pi.
\)
4) Вычисление интеграла:
\(
\int_{-5}^{1} \sqrt{5 — 4x — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{9\pi}{2}.
\)
Область определения:
\(
5 — 4x — x^2 \geq 0 — x^2 + 4x — 5 \leq 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36.
\)
Находим корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = -5,
\)
\(
x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = 1.
\)
Таким образом, область определения:
\(
(x + 5)(x — 1) \leq 0 — -5 \leq x \leq 1.
\)
Это соответствует половине круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{1 — (-5)}{2} = \frac{6}{2} = 3.
\)
Ответ:
\(
\frac{9\pi}{2}.
\)
5) Вычисление интеграла:
\(
\int_{-4}^{1} |x| \, dx = \frac{1 \cdot 1}{2} + \frac{4 \cdot 4}{2} = 8.5.
\)
Вершина ломаной:
\(x = 0,\) \(y = 0.\)
Первый треугольник (от \(x = -4\) до \(x = 0\)):
\(a = b = 1.\)
Второй треугольник (от \(x = 0\) до \(x = 1\)):
\(a = b = 4.\)
Ответ:
\(8.5.\)
6) Вычисление интеграла:
\(
\int_{0}^{5} |x — 2| \, dx = \frac{3 \cdot 3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} = 6.5.
\)
Вершина ломаной:
\(x = 2,\) \(y = 0.\)
Первый треугольник (от \(x = 0\) до \(x = 2\)):
\(a = b = 3.\)
Второй треугольник (от \(x = 2\) до \(x = 5\)):
\(a = b = 2.\)
Ответ:
\(6.5.\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.