Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Вычислите определённый интеграл, используя его геометрический смысл:}
\)
1) \(\int_{-5}^{5} \sqrt{25 — x^2} \, dx\)
2) \(\int_{0}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx\)
3) \(\int_{1}^{5} (6x — x^2 — 5) \, dx\)
4) \(\int_{-2}^{2} |x + 1| \, dx\)
1)
\(
\int_{-5}^{5} \sqrt{25 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{25\pi}{2};
\)
Область определения:
\(
25 — x^2 \geq 0;
\)
\(
x^2 — 25 \leq 0;
\)
\(
(x + 5)(x — 5) \leq 0;
\)
\(
-5 \leq x \leq 5;
\)
Дана половина круга:
\(
R = \frac{5 — (-5)}{2} = \frac{10}{2} = 5;
\)
Ответ: \(\frac{25\pi}{2}.\)
2)
\(
\int_{0}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{4} = 3\pi;
\)
Область определения:
\(
12 — x^2 \geq 0;
\)
\(
x^2 — 12 \leq 0;
\)
\(
(x + 2\sqrt{3})(x — 2\sqrt{3}) \leq 0;
\)
\(
-2\sqrt{3} \leq x \leq 2\sqrt{3};
\)
Дана четверть круга:
\(
R = \frac{2\sqrt{3} — (-2\sqrt{3})}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3};
\)
Ответ: \(3\pi.\)
3)
\(
\int_{1}^{5} \sqrt{6x — x^2 — 5} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = 2\pi;
\)
Область определения:
\(
6x — x^2 — 5 \geq 0;
\)
\(
x^2 — 6x + 5 \leq 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{ тогда: } x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \text{ и } x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)
\(
(x — 1)(x — 5) \leq 0;
\)
\(
1 \leq x \leq 5;
\)
Дана половина круга:
\(
R = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2;
\)
Ответ: \(2\pi.\)
4)
\(
\int_{-2}^{2} |x + 1| \, dx = \frac{3 \cdot 3}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = 5;
\)
Вершина ломаной:
\(
x = -1, \, y = 0;
\)
Первый треугольник:
\(
a = b = 2 + 1 = 3;
\)
Второй треугольник:
\(
a = b = -1 + 2 = 1;
\)
Ответ: \(5.\)
1) Вычисление интеграла:
\(
\int_{-5}^{5} \sqrt{25 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{25\pi}{2}.
\)
Область определения:
\(
25 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 25 — -5 \leq x \leq 5.
\)
Это соответствует половине круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{5 — (-5)}{2} = \frac{10}{2} = 5.
\)
Ответ:
\(
\frac{25\pi}{2}.
\)
2) Вычисление интеграла:
\(
\int_{0}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx = \frac{\pi R^2}{4} = 3\pi.
\)
Область определения:
\(
12 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 12 — -2\sqrt{3} \leq x \leq 2\sqrt{3}.
\)
Это соответствует четверти круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{2\sqrt{3} — (-2\sqrt{3})}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.
\)
Ответ:
\(
3\pi.
\)
3) Вычисление интеграла:
\(
\int_{1}^{5} \sqrt{6x — x^2 — 5} \, dx = \frac{\pi R^2}{2} = 2\pi.
\)
Область определения:
\(
6x — x^2 — 5 \geq 0 — x^2 — 6x + 5 \leq 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)
Таким образом, область определения:
\(
(x — 1)(x — 5) \leq 0 — 1 \leq x \leq 5.
\)
Дана половина круга радиуса \(R\):
\(
R = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2.
\)
Ответ:
\(
2\pi.
\)
4) Вычисление интеграла:
\(
\int_{-2}^{2} |x + 1| \, dx = \frac{3 \cdot 3}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = 5.
\)
Вершина ломаной:
\(
x = -1, \quad y = 0.
\)
Первый треугольник (от \(x = -2\) до \(x = -1\)):
Основание и высота:
\(
a = b = (-1) — (-2) + 1 = 3.
\)
Площадь первого треугольника:
\(
S_1 = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}.
\)
Второй треугольник (от \(x = -1\) до \(x = 2\)):
Основание и высота:
\(
a = b = (2) — (-1) + 1 = 1.
\)
Площадь второго треугольника:
\(
S_2 = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} (1)(1) = \frac{1}{2}.
\)
Общая площадь:
\(
S = S_1 + S_2 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5.
\)
Ответ:
\(
5.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.