ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите

\(
\int_{-2}^{2} \frac{2^{x^{1/3}} — 1}{2^{x^{1/3}} + 1} \, dx
\)

Вычислить определенный интеграл:
\(
\int_{-2}^{2} \frac{2\sqrt[3]{x} — 1}{2\sqrt[3]{x} + 1} \, dx =
\)

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{0} f(x) \, dx =
\)
\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(-x) \, dx =
\)
\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx — \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0;
\)

Функция является нечетной:
\(
f(x) = \frac{2\sqrt[3]{x} — 1}{2\sqrt[3]{x} + 1};
\)
\(
f(-x) = \frac{2\sqrt[3]{-x} — 1}{2\sqrt[3]{-x} + 1} = \frac{-2\sqrt[3]{x} — 1}{-2\sqrt[3]{x} + 1} = -f(x);
\)

Ответ: \(0.\)

Вычислим определенный интеграл:

\(
\int_{-2}^{2} \frac{2\sqrt[3]{x} — 1}{2\sqrt[3]{x} + 1} \, dx =
\)

Сначала разделим интеграл на две части:

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{0} f(x) \, dx =
\)

Заменим переменную в втором интеграле. Используем подстановку \(x = -t\), тогда \(dx = -dt\), и пределы интегрирования изменятся с \(-2\) до \(0\) на \(2\) до \(0\):

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{0} f(-t) (-dt) =
\)

Изменим порядок интегрирования во втором интеграле:

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(-t) \, dt =
\)

Так как \(t\) является произвольной переменной, мы можем заменить её обратно на \(x\):

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(-x) \, dx =
\)

Теперь объединим оба интеграла:

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(-x) \, dx =
\)

Если функция \(f(x)\) является нечетной, то выполняется следующее свойство:

\(
f(-x) = -f(x).
\)

Таким образом, мы можем записать:

\(
= \int_{0}^{2} f(x) \, dx — \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0.
\)

Теперь определим функцию \(f(x)\):

\(
f(x) = \frac{2\sqrt[3]{x} — 1}{2\sqrt[3]{x} + 1}.
\)

Проверим, является ли функция нечетной:

\(
f(-x) = \frac{2\sqrt[3]{-x} — 1}{2\sqrt[3]{-x} + 1} = \frac{-2\sqrt[3]{x} — 1}{-2\sqrt[3]{x} + 1}.
\)

Упрощаем:

\(
f(-x) = -f(x).
\)

Таким образом, функция является нечетной.

Ответ:

\(
0.
\)