ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите определённый интеграл:}
\)

1. \(\int_{5}^{7} x \, dx\)

2. \(\int_{3}^{8} dx\)

3. \(\int_{-3}^{0} x^2 \, dx\)

4. \(\int_{-1}^{2} x^4 \, dx\)

5. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x) \, dx\)

6. \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2(x)}\)

7. \(\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}}\)

8. \(\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x}\)

9. \(\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2}\)

10. \(\int_{-2}^{3} 3^x \, dx\)

11. \(\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} \, dx\)

12. \(\int_{-4}^{-2} (2x + 4) \, dx\)

13. \(\int_{0}^{6} (3x^2 — x) \, dx\)

14. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4\sin(x) + 2\cos(x)) \, dx\)

1) \(\int_{5}^{7} x dx = \frac{x^2}{2} \Big|_5^7 = \frac{49}{2} — \frac{25}{2} = \frac{24}{2} = 12;\)
Ответ: \(12.\)

2) \(\int_{3}^{8} dx = x \Big|_3^8 = 8 — 3 = 5;\)
Ответ: \(5.\)

3) \(\int_{-3}^{0} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-3}^0 = \frac{0}{3} — \left(-\frac{27}{3}\right) = 9;\)
Ответ: \(9.\)

4) \(\int_{-1}^{2} x^4 dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{-1}^2 = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5};\)
Ответ: \(\frac{33}{5}.\)

5) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = -\cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2};\)
Ответ: \(\frac{1}{2}.\)

6) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \tan \frac{\pi}{3} — \tan \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} — 1;\)
Ответ: \(\sqrt{3} — 1.\)

7) \(\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} \Big|_{16}^{100} = 2 \cdot 10 — 2 \cdot 4 = 12;\)
Ответ: \(12.\)

8) \(\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x} = \ln|x| \Big|_{e^2}^{e^3} = \ln e^3 — \ln e^2 = 3 — 2 = 1;\)
Ответ: \(1.\)

9) \(\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2} = x^{-1} \Big|_{1}^{10} = -\frac{1}{x} \Big|_{1}^{10} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{1} = 0{,}9;\)
Ответ: \(0{,}9.\)

10) \(\int_{-2}^{3} 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} \Big|_{-2}^{3} = \frac{27}{\ln 3} — \frac{1}{9 \ln 3} = \frac{242}{9 \ln 3};\)
Ответ: \(\frac{242}{9 \ln 3}.\)

11) \(\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3}} \Big|_{1}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 16 — \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{45}{4};\)
Ответ: \(\frac{45}{4}.\)

12) \(\int_{-4}^{-2} (2x + 4) dx = x^2 + 4x \Big|_{-4}^{-2} = (4 — 8) — (16 — 16) = -4;\)
Ответ: \(-4.\)

13) \(\int_{0}^{6} (3x^2 — x) dx = x^3 — \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{6} = 216 — \frac{36}{2} = 198;\)
Ответ: \(198.\)

14) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4 \sin x + 2 \cos x) dx = -4 \cos x + 2 \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-4 \cos \frac{\pi}{2} + 2 \sin \frac{\pi}{2}) -\)
\(- (-4 \cos 0 + 2 \sin 0) = 2 + 4 = 6;\)
Ответ: \(6.\)

1)
\(
\int_{5}^{7} x dx = \frac{x^2}{2} \Big|_5^7
\)
Вычисляем первообразную функции \(x\), это \(\frac{x^2}{2}\). Подставляем пределы:
\(
\frac{x^2}{2} \Big|_5^7 = \frac{7^2}{2} — \frac{5^2}{2} = \frac{49}{2} — \frac{25}{2} = \frac{24}{2} = 12
\)
Ответ: \(12\)

2)
\(
\int_{3}^{8} dx = x \Big|_3^8
\)
Первообразная функции \(1\) (или \(dx\)) равна \(x\). Подставляем пределы:
\(
x \Big|_3^8 = 8 — 3 = 5
\)
Ответ: \(5\)

3)
\(
\int_{-3}^{0} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-3}^0
\)
Первообразная функции \(x^2\) равна \(\frac{x^3}{3}\). Подставляем пределы:
\(
\frac{x^3}{3} \Big|_{-3}^0 = \frac{0^3}{3} — \frac{(-3)^3}{3} = 0 — \left(-\frac{27}{3}\right) = 9
\)
Ответ: \(9\)

4)
\(
\int_{-1}^{2} x^4 dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{-1}^2
\)
Первообразная функции \(x^4\) равна \(\frac{x^5}{5}\). Подставляем пределы:
\(
\frac{x^5}{5} \Big|_{-1}^2 = \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} — \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}
\)
Ответ: \(\frac{33}{5}\)

5)
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = -\cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{3}}
\)
Первообразная функции \(\sin x\) равна \(-\cos x\). Подставляем пределы:
\(
-\cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}
\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\)

6)
\(
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}
\)
Первообразная функции \(\frac{1}{\cos^2 x}\) равна \(\tan x\). Подставляем пределы:
\(
\tan x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \tan \frac{\pi}{3} — \tan \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} — 1
\)
Ответ: \(\sqrt{3} — 1\)

7)
\(
\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} \Big|_{16}^{100}
\)
Первообразная функции \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) равна \(2\sqrt{x}\). Подставляем пределы:
\(
2\sqrt{x} \Big|_{16}^{100} = 2\sqrt{100} — 2\sqrt{16} = 2 \cdot 10 — 2 \cdot 4 = 20 — 8 = 12
\)
Ответ: \(12\)

8)
\(
\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x} = \ln|x| \Big|_{e^2}^{e^3}
\)
Первообразная функции \(\frac{1}{x}\) равна \(\ln|x|\). Подставляем пределы:
\(
\ln|x| \Big|_{e^2}^{e^3} = \ln e^3 — \ln e^2 = 3 — 2 = 1
\)
Ответ: \(1\)

9)
\(
\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2} = x^{-1} \Big|_{1}^{10}
\)
Первообразная функции \(\frac{1}{x^2}\) равна \(-\frac{1}{x}\). Подставляем пределы:
\(
-\frac{1}{x} \Big|_{1}^{10} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{1} = -0{,}1 + 1 = 0{,}9
\)
Ответ: \(0{,}9\)

10)
\(
\int_{-2}^{3} 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} \Big|_{-2}^{3}
\)
Первообразная функции \(3^x\) равна \(\frac{3^x}{\ln 3}\). Подставляем пределы:
\(
\frac{3^x}{\ln 3} \Big|_{-2}^{3} = \frac{3^3}{\ln 3} — \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{27}{\ln 3} — \frac{1}{9 \ln 3} = \frac{242}{9 \ln 3}
\)
Ответ: \(\frac{242}{9 \ln 3}\)

11)
\(
\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3}} \Big|_{1}^{8}
\)
Первообразная функции \(\sqrt[3]{x}\) равна \(\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}\). Подставляем пределы:
\(
\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3}} \Big|_{1}^{8} = \frac{4}{3} \cdot 8^{\frac{4}{3}} — \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3} \cdot 16 — \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{64}{3} — \frac{4}{3} = \frac{60}{3} = \frac{45}{4}
\)
Ответ: \(\frac{45}{4}\)

12)
\(
\int_{-4}^{-2} (2x + 4) dx = x^2 + 4x \Big|_{-4}^{-2}
\)
Первообразная функции \(2x + 4\) равна \(x^2 + 4x\). Подставляем пределы:
\(
x^2 + 4x \Big|_{-4}^{-2} = \left((-2)^2 + 4(-2)\right) — \left((-4)^2 + 4(-4)\right) = (4 — 8) — (16 — 16) =
\)
\(
= -4
\)
Ответ: \(-4\)

13)
\(
\int_{0}^{6} (3x^2 — x) dx = x^3 — \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{6}
\)
Первообразная функции \(3x^2 — x\) равна \(x^3 — \frac{x^2}{2}\). Подставляем пределы:
\(
x^3 — \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{6} = \left(6^3 — \frac{6^2}{2}\right) — \left(0^3 — \frac{0^2}{2}\right) = 216 — \frac{36}{2} = 216 — 18 = 198
\)
Ответ: \(198\)

14)
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4 \sin x + 2 \cos x) dx = -4 \cos x + 2 \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\)
Первообразная функции \(4 \sin x + 2 \cos x\) равна \(-4 \cos x + 2 \sin x\). Подставляем пределы:
\(
-4 \cos x + 2 \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-4 \cos \frac{\pi}{2} + 2 \sin \frac{\pi}{2}\right) — \left(-4 \cos 0 + 2 \sin 0\right)
\)
\(
= (-4 \cdot 0 + 2 \cdot 1) — (-4 \cdot 1 + 2 \cdot 0) = 2 + 4 = 6
\)
Ответ: \(6\)