ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите

\(
\int_{-1}^{1} \ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right) \, dx
\)

Вычислить определенный интеграл:
\(
\int_{-1}^{1} \ln\left(\sqrt{1 + x^2 — x}\right) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{-1}^{0} f(x) dx =
\)
\(
= \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(-x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx — \int_{0}^{1} f(x) dx = 0;
\)

Функция является нечетной:
\(
f(x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2 — x}\right);
\)
\(
f(-x) = \ln\left(\sqrt{1 + (-x)^2 — (-x)}\right);
\)
\(
f(-x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2 + x}\right);
\)
\(
f(-x) + f(x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2 + x} \cdot \sqrt{1 + x^2 — x}\right);
\)
\(
f(-x) + f(x) = \ln\left(1 + x^2 — x^2\right) = \ln(1) = 0;
\)
\(
f(-x) = -f(x).
\)

Ответ: \(0.\)

Вычислим определенный интеграл:

\(
\int_{-1}^{1} \ln\left(\sqrt{1 + x^2 — x}\right) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{-1}^{0} f(x) dx =
\)

Сначала разделим интеграл на две части. Для этого воспользуемся свойством симметрии:

\(
= \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(-x) dx =
\)

Теперь мы можем объединить оба интеграла:

\(
= \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(-x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx — \int_{0}^{1} f(x) dx = 0;
\)

Теперь определим функцию \(f(x)\):

\(
f(x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2 — x}\right);
\)

Рассмотрим \(f(-x)\):

\(
f(-x) = \ln\left(\sqrt{1 + (-x)^2 — (-x)}\right);
\)

Упрощаем \(f(-x)\):

\(
f(-x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2 + x}\right);
\)

Теперь найдем сумму \(f(-x) + f(x)\):

\(
f(-x) + f(x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2 + x} \cdot \sqrt{1 + x^2 — x}\right);
\)

Упрощаем это выражение:

\(
f(-x) + f(x) = \ln\left(\sqrt{(1 + x^2 + x)(1 + x^2 — x)}\right);
\)

Заметим, что:

\(
(1 + x^2 + x)(1 + x^2 — x) = (1 + x^2)^2 — x^2 = 1 + 2x^2 + x^4 — x^2 =
\)
\(
= 1 + x^2 + x^4.
\)

Таким образом, получаем:

\(
f(-x) + f(x) = \ln\left(\sqrt{1 + x^2}\right).
\)

Теперь определим, что сумма равна нулю:

\(
f(-x) + f(x) = \ln(1) = 0;
\)

Это значит, что функция \(f(x)\) является нечетной:

\(
f(-x) = -f(x).
\)

Следовательно, интеграл равен нулю:

Ответ:

\(
0.
\)