ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите определённый интеграл:

\(
\int_{1}^{e} \ln x \, dx
\)

Вычислить определенный интеграл:
\(
\int_{1}^{e} \ln x \, dx = \int_{0}^{1} (e — e^x) dx = e^x — e^x \big|_{0}^{1} =
\)
\(
= (e \cdot 1 — e^1) — (e \cdot 0 — e^0) = e — e + 1 = 1;
\)

Рисунок искомой фигуры:

Обратная функция:
\(
f(x) = e^x;
\)
\(
e^x = e, \, x = 1;
\)

Ответ: \(1.\)

Вычислим определенный интеграл:

\(
\int_{1}^{e} \ln x \, dx = \int_{0}^{1} (e — e^x) \, dx = e^x — e^x \bigg|_{0}^{1} =
\)

Сначала вычислим интеграл \(\int_{0}^{1} (e — e^x) \, dx\):

\(
= \int_{0}^{1} e \, dx — \int_{0}^{1} e^x \, dx.
\)

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности. Для первого интеграла:

\(
\int_{0}^{1} e \, dx = e \cdot x \bigg|_{0}^{1} = e \cdot 1 — e \cdot 0 = e.
\)

Для второго интеграла:

\(
\int_{0}^{1} e^x \, dx = e^x \bigg|_{0}^{1} = e^1 — e^0 = e — 1.
\)

Теперь подставим результаты обратно:

\(
= e — (e — 1) = e — e + 1 = 1.
\)

Рисунок искомой фигуры:

Обратная функция:

\(
f(x) = e^x;
\)
\(
e^x = e, \, x = 1.
\)

Ответ: \(1.\)