ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите определённый интеграл:

\(
\int_{0}^{1} \arcsin(x) \, dx
\)

Вычислить определенный интеграл:
\(
\int_{0}^{1} \arcsin x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 — \sin x) \, dx = x + \cos x \big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =
\)
\(
= \left(\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}\right) — \left(0 + \cos 0\right) = \frac{\pi}{2} + 0 — 1 = \frac{\pi}{2} — 1;
\)

Рисунок искомой фигуры:

Обратная функция:
\(
f(x) = \sin x;
\)
\(
\sin x = 0, \, x = 0;
\)
\(
\sin x = 1, \, x = \frac{\pi}{2};
\)

Ответ: \(\frac{\pi}{2} — 1.\)

Вычислим определенный интеграл:

\(
\int_{0}^{1} \arcsin x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 — \sin x) \, dx = x + \cos x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =
\)

Сначала преобразуем интеграл:

\(
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx — \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx.
\)

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности. Для первого интеграла:

\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2}.
\)

Для второго интеграла:

\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\left(\cos \frac{\pi}{2} — \cos 0\right) = -\left(0 — 1\right) = 1.
\)

Теперь подставим результаты обратно в выражение:

\(
= \frac{\pi}{2} — 1.
\)

Рисунок искомой фигуры:

Обратная функция:

\(
f(x) = \sin x;
\)
\(
\sin x = 0, \, x = 0;
\)
\(
\sin x = 1, \, x = \frac{\pi}{2};
\)

Ответ: \(\frac{\pi}{2} — 1.\)