ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите одну из первообразных функции } y = \sqrt{4 — x^2} \text{ на промежутке } [-2; 2].
\)

Найти первообразную функции:
\(
y = \sqrt{4 — x^2}, \, (-2; 2);
\)

1) Пусть \(x = 2 \sin u\), тогда:
\(
\frac{x}{2} = \sin u;
\)
\(
u = \arcsin \frac{x}{2}; \quad dx = 2 \cos u \, du;
\)

2) Найдём интеграл:
\(
\int \sqrt{4 — x^2} \, dx = \int 2 \cos u \sqrt{4 — 4 \sin^2 u} \, du =
\)
\(
= \int 2 \cos u \sqrt{4 \cos^2 u} \, du = \int 4 \cos^2 u \, du =
\)
\(
= \int (2 + 2 \cos 2u) \, du = 2u + \sin 2u;
\)

3) Обратная замена:
\(
2u + \sin 2u = 2 \arcsin \frac{x}{2} + \sin \left(2 \arcsin \frac{x}{2}\right) =
\)
\(
= 2 \arcsin \frac{x}{2} + 2 \sin \left(\arcsin \frac{x}{2}\right) \cos \left(\arcsin \frac{x}{2}\right) =
\)
\(
= 2 \arcsin \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \sqrt{1 — \frac{x^2}{4}} = 2 \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \sqrt{4 — x^2};
\)

Ответ:
\(
\frac{x}{2} \sqrt{4 — x^2} + 2 \arcsin \frac{x}{2}.
\)

Найти первообразную функции:

\(
y = \sqrt{4 — x^2}, \, (-2; 2);
\)

1) Пусть \(x = 2 \sin u\), тогда:

\(
\frac{x}{2} = \sin u;
\)

Из этого следует, что:

\(
u = \arcsin \frac{x}{2};
\)

Теперь найдем производную \(dx\):

\(
dx = 2 \cos u \, du;
\)

2) Найдём интеграл:

\(
\int \sqrt{4 — x^2} \, dx = \int 2 \cos u \sqrt{4 — 4 \sin^2 u} \, du =
\)

Упростим подкоренное выражение:

\(
= \int 2 \cos u \sqrt{4(1 — \sin^2 u)} \, du = \int 2 \cos u \sqrt{4 \cos^2 u} \, du =
\)

Так как \(\sqrt{4 \cos^2 u} = 2 \cos u\), получаем:

\(
= \int 2 \cos u (2 \cos u) \, du = \int 4 \cos^2 u \, du =
\)

Теперь используем формулу для интегрирования косинуса в квадрате:

\(
= \int (2 + 2 \cos 2u) \, du.
\)

Теперь интегрируем:

\(
= 2u + \sin 2u.
\)

3) Обратная замена:

Теперь вернёмся к переменной \(x\):

\(
2u + \sin 2u = 2 \arcsin \frac{x}{2} + \sin \left(2 \arcsin \frac{x}{2}\right) =
\)

Используя формулу для синуса двойного угла:

\(
= 2 \arcsin \frac{x}{2} + 2 \sin \left(\arcsin \frac{x}{2}\right) \cos \left(\arcsin \frac{x}{2}\right) =
\)

Здесь мы знаем, что:

\(
\sin \left(\arcsin \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}
\)

и

\(
\cos \left(\arcsin \frac{x}{2}\right) = \sqrt{1 — \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{x^2}{4}}.
\)

Подставляем это в уравнение:

\(
= 2 \arcsin \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \sqrt{1 — \frac{x^2}{4}} =
\)

Таким образом, получаем:

\(
= 2 \arcsin \frac{x}{2} + x \sqrt{4 — x^2}.
\)

Ответ:

\(
\frac{x}{2} \sqrt{4 — x^2} + 2 \arcsin \frac{x}{2}.
\)