ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите определённый интеграл:}
\)

\(
\int_{-4}^{-2} 2 \, dx, \quad \int_{1}^{2} x^3 \, dx, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx, \quad \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx,
\)

\(
\int_{1}^{3} \frac{1}{x^4} \, dx, \quad \int_{0}^{4} e^x \, dx, \quad \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx, \quad \int_{4}^{9} \sqrt{v} \, dx,
\)

\(
\int_{-1}^{1} (1 — 5x^4) \, dx.
\)

1) \(\int_{-4}^{-2} 2dx = 2x \Big|_{-4}^{-2} = -4 + 8 = 4\)
Ответ: \(4\).

2) \(\int_{1}^{2} x^3 dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{1}^{2} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4}\);
Ответ: \(\frac{15}{4}\).

3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin 0 = 1\);
Ответ: \(1\).

4) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot \frac{\pi}{2} + \cot \frac{\pi}{4} = 0 + 1 = 1\);
Ответ: \(1\).

\(
5) \int \frac{dx}{x^4} = x^{-3} \Big|_{1}^{3} = \frac{1}{3} — \frac{1}{81} = \frac{26}{81};
\)
Ответ: \(\frac{26}{81}\).

\(
6) \int e^x \, dx = e^x \Big|_{0}^{4} = e^4 — e^0 = e^4 — 1;
\)
Ответ: \(e^4 — 1\).

\(
7) \int \frac{dx}{x} = \ln|x| \Big|_{1}^{e} = \ln(e) — \ln(1) = 1;
\)
Ответ: \(1\).

\(
8) \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_{4}^{9} = \frac{2}{3} (27 — 8) = \frac{38}{3};
\)
Ответ: \(\frac{38}{3}\).

\(
9) \int (1 — 5x^4) \, dx = x — x^5 \Big|_{-1}^{1} = (1 — 1) — (-1 + 1) = 0;
\)
Ответ: \(0\).

1) Интеграл от 2 на интервале \([-4, -2]\):
\(
\int_{-4}^{-2} 2 \, dx
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int 2 \, dx = 2x + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
2x \Big|_{-4}^{-2} = 2(-2) — 2(-4)
\)
— Вычисляем:
\(
2(-2) = -4 \quad \text{и} \quad 2(-4) = -8
\)
— Следовательно,
\(
-4 — (-8) = -4 + 8 = 4
\)
Ответ: \(4\).

2) Интеграл от \(x^3\) на интервале \([1, 2]\):
\(
\int_{1}^{2} x^3 \, dx
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
\frac{x^4}{4} \Big|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} — \frac{1^4}{4}
\)
— Вычисляем:
\(
\frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \quad \text{и} \quad \frac{1^4}{4} = \frac{1}{4}
\)
— Следовательно,
\(
4 — \frac{1}{4} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4}
\)
Ответ: \(\frac{15}{4}\).

3) Интеграл от \(\cos x\) на интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\):
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int \cos x \, dx = \sin x + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
\sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin(0)
\)
— Вычисляем:
\(
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{и} \quad \sin(0) = 0
\)
— Следовательно,
\(
1 — 0 = 1
\)
Ответ: \(1\).

4) Интеграл от \(\frac{1}{\sin^2 x}\) на интервале \([\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\):
\(
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
-\cot x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)
\)
— Вычисляем:
\(
\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{и} \quad \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
\)
— Следовательно,
\(
-0 + 1 = 1
\)
Ответ: \(1\).

5) Интеграл от \(\frac{1}{x^4}\):
\(
\int \frac{dx}{x^4}
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int x^{-4} \, dx = -\frac{1}{3} x^{-3} + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
-\frac{1}{3} x^{-3} \Big|_{1}^{3} = -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3^3} — \frac{1}{1^3}\right)
\)
— Вычисляем:
\(
-\frac{1}{3} \left(\frac{1}{27} — 1\right) = -\frac{1}{3} \left(\frac{1 — 27}{27}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{26}{27}\right) = \frac{26}{81}
\)
Ответ: \(\frac{26}{81}\).

6) Интеграл от \(e^x\):
\(
\int e^x \, dx
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int e^x \, dx = e^x + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
e^x \Big|_{0}^{4} = e^4 — e^0
\)
— Вычисляем:
\(
e^0 = 1
\)
— Следовательно,
\(
e^4 — 1
\)
Ответ: \(e^4 — 1\).

7) Интеграл от \(\frac{1}{x}\):
\(
\int \frac{dx}{x}
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
\ln|x| \Big|_{1}^{e} = \ln(e) — \ln(1)
\)
— Вычисляем:
\(
\ln(e) = 1 \quad \text{и} \quad \ln(1) = 0
\)
— Следовательно,
\(
1 — 0 = 1
\)
Ответ: \(1\).

8) Интеграл от \(\sqrt{x}\):
\(
\int \sqrt{x} \, dx
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_{4}^{9} = \frac{2}{3} \left(9^{\frac{3}{2}} — 4^{\frac{3}{2}}\right)
\)
— Вычисляем:
\(
9^{\frac{3}{2}} = 27 \quad \text{и} \quad 4^{\frac{3}{2}} = 8
\)
— Следовательно,
\(
\frac{2}{3} (27 — 8) = \frac{2}{3} \cdot 19 = \frac{38}{3}
\)
Ответ: \(\frac{38}{3}\).

9) Интеграл от \(1 — 5x^4\):
\(
\int (1 — 5x^4) \, dx
\)
— Неопределенный интеграл:
\(
\int (1 — 5x^4) \, dx = x — x^5 + C
\)
— Подставляем пределы:
\(
x — x^5 \Big|_{-1}^{1} = \left(1 — 1^5\right) — \left(-1 — (-1)^5\right)
\)
— Вычисляем:
\(
= (1 — 1) — (-1 + 1) = 0 — 0 = 0
\)
Ответ: \(0\).