Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой \( y = x^2 + 1 \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной косинусоидой \( y = \cos(x) \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = -\frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{\pi}{2} \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = -x^3 \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = -2 \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой \( y = 3 — 2x — x^2 \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = -2 \), \( x = 0 \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой \( y = \frac{1}{2x} \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = \frac{1}{4} \), \( x = 2 \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой \( y = 2x — x^2 \) и осью абсцисс.
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной синусоидой \( y = \sin(2x) \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = \frac{\pi}{12} \), \( x = \frac{\pi}{4} \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = \frac{1}{(x-1)^2} \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = -1 \), \( x = 0 \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = e^x + 1 \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = -2 \).
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = \sqrt{5-x} \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = -4 \).
1) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = x^2 + 1, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 2 \);
\( S = \int (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} \);
Ответ: \( \frac{14}{3} \).
2) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \cos x, \quad y = 0, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{2} \);
\( S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \);
Ответ: \( \frac{3}{2} \).
3) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = -x^3, \quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = 0 \);
\( S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx = -\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} = -0 — \left(-\frac{16}{4}\right) = 4 \);
Ответ: \( 4 \).
4) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = 3 — 2x — x^2, \quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = 0 \);
\( S = \int_{-2}^{0} (3 — 2x — x^2) \, dx = \left[ 3x — x^2 — \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} =\)
\(= (3 \cdot 0 — 0^2 — 0^3/3) — (3(-2) — (-2)^2 — (-2)^3/3) = 0 — (-12 — 4 + \frac{8}{3}) = \);
\(= \frac{22}{3} \);
Ответ: \( \frac{22}{3} \).
5) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \frac{1}{2x}, \quad y = 0, \quad x = \frac{1}{4}, \quad x = 2 \);
\( S = \int \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x| \bigg|_{\frac{1}{4}}^{2} = \frac{1}{2} \ln(2) — \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \ln(2) — \left(-\frac{1}{2} \ln(4)\right) =\);
\(= \frac{1}{2} \ln(8) \);
Ответ: \( \frac{1}{2} \ln(8) \).
6) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = 2x — x^2, \quad y = 0 \);
Точки пересечения:
\( 2x — x^2 = 0 \);
\( x(x-2) = 0 \);
\( x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \);
Площадь фигуры:
\( S = \int (2x — x^2) \, dx = x^2 — \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{2} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \);
Ответ: \( \frac{4}{3} \).
7) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \sin(2x), \quad y = 0, \quad x = \frac{\pi}{12}, \quad x = \frac{\pi}{4} \);
\( S = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) \bigg|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) — \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \right) =\);
\(= -\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \);
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{4} \).
8) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \frac{1}{(x-1)^2}, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 0 \);
\( S = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{(x-1)^2} = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{-1}^{0} = -\frac{1}{-1-1} — \left(-\frac{1}{0-1}\right) = -\frac{1}{-2} + 1 = \frac{1}{2} \);
Ответ: \( \frac{1}{2} \).
9) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = e^{(x+1)}, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = -2 \);
\( S = \int_{-2}^{0} e^{(x+1)} \, dx = \left[e^{(x+1)}\right]_{-2}^{0} = e^{2} — e^{-1} \);
Ответ: \( \frac{3e^{2} — 1}{e^{2}} \).
10) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \sqrt{5-x}, \quad y = 0, \quad x = -4 \);
Точки пересечения:
\( \sqrt{5-x} = 0 \);
\( x = 5 \);
Площадь фигуры:
\( S = \int_{-4}^{5} \sqrt{5-x} \, dx = -\frac{2}{3}(5-x)^{\frac{3}{2}} \bigg|_{-4}^{5} = -\frac{2}{3}\left((5-5)^{\frac{3}{2}} — (5+4)^{\frac{3}{2}}\right) = \);
\(= -\frac{2}{3}(0 — (-27)) = 18 \);
Ответ: \( 18 \).
1) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = x^2 + 1, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 2 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо вычислить интеграл от функции \(y = x^2 + 1\) в пределах от \(x = 0\) до \(x = 2\):
\( S = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} \)
Ответ: \( \frac{14}{3} \).
2) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \cos x, \quad y = 0, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{2} \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = \cos x\) в пределах от \(x = -\frac{\pi}{6}\) до \(x = \frac{\pi}{2}\):
\( S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = \sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
Ответ: \( \frac{3}{2} \).
3) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = -x^3, \quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = 0 \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = -x^3\) в пределах от \(x = -2\) до \(x = 0\):
\( S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = -\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} = -0 — \left(-\frac{16}{4}\right) = 4 \)
Ответ: \( 4 \).
4) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = 3 — 2x — x^2, \quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = 0 \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = 3 — 2x — x^2\) в пределах от \(x = -2\) до \(x = 0\):
\( S = \int_{-2}^{0} (3 — 2x — x^2) \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = \left[ 3x — x^2 — \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = (3 \cdot 0 — 0^2 — 0^3/3) — (3(-2) — (-2)^2 — (-2)^3/3) =\)
\(= 0 — (-12 — 4 + \frac{8}{3}) = \frac{22}{3} \)
Ответ: \( \frac{22}{3} \).
5) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \frac{1}{2x}, \quad y = 0, \quad x = \frac{1}{4}, \quad x = 2 \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = \frac{1}{2x}\) в пределах от \(x = \frac{1}{4}\) до \(x = 2\):
\( S = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{1}{2x} \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = \frac{1}{2} \ln |x| \bigg|_{\frac{1}{4}}^{2} = \frac{1}{2} \ln(2) — \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \ln(2) — \left(-\frac{1}{2} \ln(4)\right) = \frac{1}{2} \ln(8) \)
Ответ: \( \frac{1}{2} \ln(8) \).
6) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = 2x — x^2, \quad y = 0 \)
Для нахождения площади фигуры сначала необходимо найти точки пересечения линий:
\( 2x — x^2 = 0 \)
\( x(x-2) = 0 \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \)
Затем вычисляем площадь фигуры как интеграл от функции \(y = 2x — x^2\) в пределах от \(x = 0\) до \(x = 2\):
\( S = \int_{0}^{2} (2x — x^2) \, dx = x^2 — \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{2} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \)
Ответ: \( \frac{4}{3} \).
7) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \sin(2x), \quad y = 0, \quad x = \frac{\pi}{12}, \quad x = \frac{\pi}{4} \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = \sin(2x)\) в пределах от \(x = \frac{\pi}{12}\) до \(x = \frac{\pi}{4}\):
\( S = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = -\frac{1}{2} \cos(2x) \bigg|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) — \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{4} \).
8) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \frac{1}{(x-1)^2}, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 0 \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = \frac{1}{(x-1)^2}\) в пределах от \(x = -1\) до \(x = 0\):
\( S = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{(x-1)^2} \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{-1}^{0} = -\frac{1}{-1-1} — \left(-\frac{1}{0-1}\right) = -\frac{1}{-2} + 1 = \frac{1}{2} \)
Ответ: \( \frac{1}{2} \).
9) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = e^{(x+1)}, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = -2 \)
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \(y = e^{(x+1)}\) в пределах от \(x = -2\) до \(x = 0\):
\( S = \int_{-2}^{0} e^{(x+1)} \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = \left[e^{(x+1)}\right]_{-2}^{0} = e^{2} — e^{-1} \)
Ответ: \( \frac{3e^{2} — 1}{e^{2}} \).
10) Найти площадь фигуры, которая ограничена данными линиями:
\( y = \sqrt{5-x}, \quad y = 0, \quad x = -4 \)
Сначала найдем точки пересечения линий:
\( \sqrt{5-x} = 0 \)
\( x = 5 \)
Затем вычислим площадь фигуры как интеграл от функции \(y = \sqrt{5-x}\) в пределах от \(x = -4\) до \(x = 5\):
\( S = \int_{-4}^{5} \sqrt{5-x} \, dx \)
Вычисляя интеграл, получаем:
\( S = -\frac{2}{3}(5-x)^{\frac{3}{2}} \bigg|_{-4}^{5} = -\frac{2}{3}\left((5-5)^{\frac{3}{2}} — (5+4)^{\frac{3}{2}}\right) = -\frac{2}{3}(0 — (-27)) = 18 \)
Ответ: \( 18 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.