ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1) \( y = x^2 — 1, \quad y = 0, \quad x = 2; \)

2) \( y = -x^2 — 4x, \quad y = 0, \quad x = -3, \quad x = -1; \)

3) \( y = -\frac{8}{x}, \quad y = 0, \quad x = -4, \quad x = -2; \)

4) \( y = \frac{1}{(x+2)^2}, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 1; \)

5) \( y = \sqrt{x+4}, \quad y = 0, \quad x = -3, \quad x = 5; \)

6) \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 1, \quad y = 0, \quad x = -2, \quad x = -4. \)

1) \( y = x^2 — 1 \), \( y = 0 \), \( x = 2 \);
Точки пересечения:
\( x^2 — 1 = 0 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)

Площадь фигуры:
\( S = \int_{1}^{2} (x^2 — 1)dx = \frac{x^3}{3} — x \Big|_1^2 \)
\( S = \left( \frac{8}{3} — 2 \right) — \left( \frac{1}{3} — 1 \right) = \frac{7}{3} — 1 = \frac{4}{3} \)

Ответ: \(\frac{4}{3}\)

2) \( y = -x^2 — 4x \), \( y = 0 \), \( x = -3 \), \( x = -1 \);

\( S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 — 4x)dx = -\frac{x^3}{3} — 2x^2 \Big|_{-3}^{-1} \)
\( S = \left( -\frac{1}{3} — 2 \right) — \left( -\frac{27}{3} — 2 \cdot 9 \right) = 16 — \frac{26}{3} = \frac{22}{3} \)

Ответ: \(\frac{22}{3}\)

3) \( y = -\frac{8}{x} \), \( y = 0 \), \( x = -4 \), \( x = -2 \);

\( S = \int_{-4}^{-2} -\frac{8}{x}dx = -8 \ln|x| \Big|_{-4}^{-2} \)

\( S = -8 \ln 2 + 8 \ln 4 \);
\( S = -8 \ln 2 + 8 \cdot 2 \ln 2 = 8 \ln 2 \);
Ответ: \( 8 \ln 2 \).

4) \( y = \frac{1}{(x + 2)^2} \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \);

\( S = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{(x + 2)^2} = -\frac{1}{x + 2} \Big|_{-1}^{1} \)
\( S = \left( -\frac{1}{1 + 2} \right) — \left( -\frac{1}{-1 + 2} \right) = -\frac{1}{3} + 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Ответ: \(\frac{2}{3}\)

5) \( y = \sqrt{x + 4} \), \( y = 0 \), \( x = -3 \), \( x = 5 \);

\( S = \int_{-3}^{5} \sqrt{x + 4}dx = \frac{2}{3}(x + 4)^{3/2} \Big|_{-3}^{5} \)
\( S = \frac{2}{3} \cdot 27 — \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{52}{3} \)

Ответ: \(\frac{52}{3}\)

6) \( y = \left( \frac{1}{3} \right)^x — 1 \), \( y = 0 \), \( x = -2 \), \( x = -4 \);

\( S = \int_{-4}^{-2} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^x — 1 \right) dx = \left( \frac{1}{3} \right)^x \ln \frac{1}{3} \Big|_{-4}^{-2} — \int_{-4}^{-2} dx \)
\( S = \left( \frac{9}{\ln 3 + 2} — \frac{81}{\ln 3 + 4} \right) — \left( -\frac{72 — 2 \ln 3}{\ln 3} \right) \)

Ответ: \( \frac{72 — 2 \ln 3}{\ln 3} \).

1) Даны линии: \( y = x^2 — 1 \), \( y = 0 \), \( x = 2 \).
Находим точки пересечения:
\(
x^2 — 1 = 0
\)
\(
x^2 = 1
\)
\(
x = \pm 1
\)
Площадь фигуры вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{1}^{2} (x^2 — 1)dx
\)
Выполняем интегрирование:
\(
\int (x^2 — 1)dx = \frac{x^3}{3} — x
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
S = \frac{x^3}{3} — x \Big|_1^2
\)
\(
S = \left( \frac{8}{3} — 2 \right) — \left( \frac{1}{3} — 1 \right)
\)
\(
S = \frac{7}{3} — 1 = \frac{4}{3}
\)
Ответ: \( \frac{4}{3} \).

2) Даны линии: \( y = -x^2 — 4x \), \( y = 0 \), \( x = -3 \), \( x = -1 \).
Площадь фигуры вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 — 4x)dx
\)
Выполняем интегрирование:
\(
\int (-x^2 — 4x)dx = -\frac{x^3}{3} — 2x^2
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
S = -\frac{x^3}{3} — 2x^2 \Big|_{-3}^{-1}
\)
\(
S = \left( -\frac{1}{3} — 2 \right) — \left( -\frac{27}{3} — 2 \cdot 9 \right)
\)
\(
S = \left( -\frac{1}{3} — 2 \right) — \left( -9 — 18 \right)
\)
\(
S = -\frac{1}{3} — 2 + 27
\)
\(
S = 16 — \frac{26}{3} = \frac{22}{3}
\)
Ответ: \( \frac{22}{3} \).

3) Даны линии: \( y = -\frac{8}{x} \), \( y = 0 \), \( x = -4 \), \( x = -2 \).
Площадь фигуры вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{-4}^{-2} -\frac{8}{x}dx
\)
Выполняем интегрирование:
\(
\int -\frac{8}{x}dx = -8 \ln|x|
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
S = -8 \ln|x| \Big|_{-4}^{-2}
\)
\(
S = -8 \ln 2 + 8 \ln 4
\)
Учитываем, что \( \ln 4 = 2 \ln 2 \):
\(
S = -8 \ln 2 + 8 \cdot 2 \ln 2 = 8 \ln 2
\)
Ответ: \( 8 \ln 2 \).

4) Даны линии: \( y = \frac{1}{(x + 2)^2} \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \).
Площадь фигуры вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{(x + 2)^2}
\)
Выполняем интегрирование:
\(
\int \frac{dx}{(x + 2)^2} = -\frac{1}{x + 2}
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
S = -\frac{1}{x + 2} \Big|_{-1}^{1}
\)
\(
S = \left( -\frac{1}{1 + 2} \right) — \left( -\frac{1}{-1 + 2} \right)
\)
\(
S = -\frac{1}{3} + \frac{1}{1}
\)
\(
S = -\frac{1}{3} + 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\)
Ответ: \( \frac{2}{3} \).

5) Даны линии: \( y = \sqrt{x + 4} \), \( y = 0 \), \( x = -3 \), \( x = 5 \).
Площадь фигуры вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{-3}^{5} \sqrt{x + 4}dx
\)
Выполняем интегрирование:
\(
\int \sqrt{x + 4}dx = \frac{2}{3}(x + 4)^{3/2}
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
S = \frac{2}{3}(x + 4)^{3/2} \Big|_{-3}^{5}
\)
\(
S = \frac{2}{3} \cdot 27 — \frac{2}{3} \cdot 1
\)
\(
S = \frac{52}{3}
\)
Ответ: \( \frac{52}{3} \).

6) Даны линии: \( y = \left( \frac{1}{3} \right)^x — 1 \), \( y = 0 \), \( x = -2 \), \( x = -4 \).
Площадь фигуры вычисляется по формуле:
\(
S = \int_{-4}^{-2} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^x — 1 \right) dx
\)
Разделим интеграл на две части:
\(
S = \int_{-4}^{-2} \left( \frac{1}{3} \right)^x dx — \int_{-4}^{-2} 1 dx
\)
Первый интеграл:
\(
\int \left( \frac{1}{3} \right)^x dx = \left( \frac{1}{3} \right)^x \ln \frac{1}{3}
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left( \frac{1}{3} \right)^x \ln \frac{1}{3} \Big|_{-4}^{-2}
\)
Второй интеграл:
\(
\int_{-4}^{-2} 1 dx = x \Big|_{-4}^{-2}
\)
Суммируем результаты:
\(
S = \left( \frac{9}{\ln 3 + 2} — \frac{81}{\ln 3 + 4} \right) — \left( -\frac{72 — 2 \ln 3}{\ln 3} \right)
\)
Ответ: \( \frac{72 — 2 \ln 3}{\ln 3} \).