Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что криволинейные трапеции, закрашенные на рисунке 11.13, равновелики.
1) \( y = \frac{6}{x} \), \( a = 1 \), \( b = 2 \);
\( S = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} dx = 6 \ln |x| \Big|_{1}^{2}; \)
\( S = 6 \ln 2 — 6 \ln 1 = 6 \ln 2; \)
2) \( y = \frac{6}{x} \), \( a = 3 \), \( b = 6 \);
\( S = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} dx = 6 \ln |x| \Big|_{3}^{6}; \)
\( S = 6 \ln 6 — 6 \ln 3 = 6 \ln 2; \)
Что и требовалось доказать.
1) Для первого интеграла:
Мы имеем функцию \( y = \frac{6}{x} \) и пределы интегрирования \( a = 1 \) и \( b = 2 \).
Сначала запишем определенный интеграл:
\(
S = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} \, dx
\)
Теперь найдем первообразную функции \( \frac{6}{x} \):
\(
\int \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln |x| + C
\)
Теперь подставим пределы интегрирования:
\(
S = 6 \ln |x| \Big|_{1}^{2} = 6 \ln 2 — 6 \ln 1
\)
Поскольку \( \ln 1 = 0 \), мы получаем:
\(
S = 6 \ln 2 — 0 = 6 \ln 2
\)
Таким образом, для первого интеграла мы имеем:
\(
S = 6 \ln 2
\)
2) Для второго интеграла:
Здесь также функция \( y = \frac{6}{x} \), но пределы интегрирования изменились на \( a = 3 \) и \( b = 6 \).
Записываем интеграл:
\(
S = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} \, dx
\)
Как и ранее, первообразная остается той же:
\(
\int \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln |x| + C
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = 6 \ln |x| \Big|_{3}^{6} = 6 \ln 6 — 6 \ln 3
\)
Используя свойство логарифмов \( \ln a — \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right) \), мы можем переписать это как:
\(
S = 6 (\ln 6 — \ln 3) = 6 \ln \left( \frac{6}{3} \right) = 6 \ln 2
\)
Таким образом, для второго интеграла мы также получаем:
\(
S = 6 \ln 2
\)
В итоге, для обоих интегралов мы доказали, что:
\(
S = 6 \ln 2
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.