ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что криволинейные трапеции, закрашенные на рисунке 11.13, равновелики.

1) \( y = \frac{6}{x} \), \( a = 1 \), \( b = 2 \);
\( S = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} dx = 6 \ln |x| \Big|_{1}^{2}; \)
\( S = 6 \ln 2 — 6 \ln 1 = 6 \ln 2; \)

2) \( y = \frac{6}{x} \), \( a = 3 \), \( b = 6 \);
\( S = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} dx = 6 \ln |x| \Big|_{3}^{6}; \)
\( S = 6 \ln 6 — 6 \ln 3 = 6 \ln 2; \)

Что и требовалось доказать.

1) Для первого интеграла:

Мы имеем функцию \( y = \frac{6}{x} \) и пределы интегрирования \( a = 1 \) и \( b = 2 \).

Сначала запишем определенный интеграл:

\(
S = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} \, dx
\)

Теперь найдем первообразную функции \( \frac{6}{x} \):

\(
\int \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln |x| + C
\)

Теперь подставим пределы интегрирования:

\(
S = 6 \ln |x| \Big|_{1}^{2} = 6 \ln 2 — 6 \ln 1
\)

Поскольку \( \ln 1 = 0 \), мы получаем:

\(
S = 6 \ln 2 — 0 = 6 \ln 2
\)

Таким образом, для первого интеграла мы имеем:

\(
S = 6 \ln 2
\)

2) Для второго интеграла:

Здесь также функция \( y = \frac{6}{x} \), но пределы интегрирования изменились на \( a = 3 \) и \( b = 6 \).

Записываем интеграл:

\(
S = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} \, dx
\)

Как и ранее, первообразная остается той же:

\(
\int \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln |x| + C
\)

Подставим пределы интегрирования:

\(
S = 6 \ln |x| \Big|_{3}^{6} = 6 \ln 6 — 6 \ln 3
\)

Используя свойство логарифмов \( \ln a — \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right) \), мы можем переписать это как:

\(
S = 6 (\ln 6 — \ln 3) = 6 \ln \left( \frac{6}{3} \right) = 6 \ln 2
\)

Таким образом, для второго интеграла мы также получаем:

\(
S = 6 \ln 2
\)

В итоге, для обоих интегралов мы доказали, что:

\(
S = 6 \ln 2
\)